TD d'algebre linéaire

[143]

Exercice 28 Soient u et v deux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E de dimension n.
On pose :
F = {u(z) + v(z), z ∈ E}
G = {u(x) + v(y), x ∈ E, y ∈ E}
dim ker(v) = p
dim ker(u ◦ v) = q
a. Comparer F et G et en d´eduire que : rg(u + v) 6 rg(u) + rg(v).
b. Montrer que ker(v) ∩ ker(u ◦ v).
c. Montrer qu’il existe une base (a1, . . . , an) de E telle que :
(i) (a1, . . . , ap) soit une base de ker v,
(ii) (a1, . . . , ap, . . . , aq) soit une base de ker(uov),
(iii) (v(ap+1), . . . , v(aq)) soit une famille libre de ker u.
d. En d´eduire l’in´egalit´e : rg(u ◦ v) > rg u + rg v − n.
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[MissJenny]

bonjour, j'aurais besoin d'aide, merci... n'étaient pas dans l'énoncé manifestement.

[stefjm]

Et vu le copier-coller même pas relu vu que les accents sont mal passés, je vais faire pareil...

a. Comparaison de F et G:
Tout élément de F est de la forme u(z) + v(z) pour un certain z ∈ E. Tout élément de G est de la forme u(x) + v(y) pour certains x, y ∈ E. Ainsi, G est un sous-espace vectoriel de F car tout élément de G est également un élément de F. Cela implique que dim(G) ≤ dim(F).
En outre, pour tout x ∈ E, on peut écrire x = (x - v(x)) + v(x). Ainsi, u(x) = u(x - v(x)) + u(v(x)). Puisque v(x) appartient à ker(v), u(v(x)) appartient à Im(u ◦ v) ⊆ ker(u). Donc u(x) appartient à ker(u) + Im(u ◦ v). Ainsi, pour tout x ∈ E, on peut écrire u(x) = u(x - v(x)) + w(x) pour un certain w(x) dans Im(u ◦ v). Cela montre que Im(u) ⊆ ker(v) + Im(u ◦ v), ce qui implique que rg(u) ≤ p + q.
De même, on peut montrer que rg(v) ≤ p + q. Par conséquent, dim(F) = rg(u + v) ≤ rg(u) + rg(v) ≤ 2(p + q). On en déduit que rg(u + v) ≤ 2(p + q) et donc que rg(u + v) ≤ rg(u) + rg(v).
b. Montrer que ker(v) ∩ ker(u ◦ v):
Soit x ∈ ker(v) ∩ ker(u ◦ v). Alors v(x) = 0 et u(v(x)) = 0, ce qui implique que x ∈ ker(u ◦ v). Ainsi, ker(v) ∩ ker(u ◦ v) est non vide.
c. Existence d'une base pour E:
Commençons par choisir une base (b1, . . . , bn) de E telle que (b1, . . . , bp) soit une base de ker(v). Puisque dim(ker(u ◦ v)) = q, on peut étendre (b1, . . . , bp) à une base (b1, . . . , bp, . . . , bq) de ker(u ◦ v). Ensuite, pour chaque j = p+1, . . . , q, on peut choisir un élément aj ∈ E tel que v(aj) appartienne à la base de ker(v) et que u(v(aj)) = b_j. Alors, la famille (a1, . . . , aq) est libre car la famille (b1, . . . , bq) est libre, et la famille (v(a_{p+1}), . . . , v(a_q))) est libre car elle est obtenue en appliquant l'endomorphisme v à une famille libre. Enfin, la famille (a1, . . . , aq) est génératrice de E car elle contient une base de ker(v) et une base de ker(u ◦ v), et ces deux sous-espaces vectoriels engendrent E. Ainsi, (a1, . . . , aq) est une base de E satisfaisant les conditions (i), (ii), et (iii).

d. Inégalité :
On a rg(u + v) ≤ rg(u) + rg(v) ≤ p + q + p + q = 2(p + q). En utilisant la formule de Grassmann (dim(E) = dim(ker(u)) + dim(Im(u)), et dim(E) = dim(ker(v)) + dim(Im(v))), on obtient :

dim(E) = dim(ker(u)) + rg(u) = p + rg(u) dim(E) = dim(ker(v)) + rg(v) = p + rg(v)
En ajoutant ces deux équations, on obtient :
2 dim(E) = 2p + rg(u) + rg(v)
Puisque dim(E) = n, on en déduit que :
rg(u) + rg(v) ≥ 2n - 2p
Or, d'après la question c, on peut choisir une base de E telle que (a1, . . . , aq) soit une famille libre de ker(u), ce qui implique que dim(ker(u)) = q. En remplaçant p par q dans l'inégalité précédente, on obtient :
rg(u) + rg(v) ≥ 2n - 2q
Or, on sait que dim(ker(u ◦ v)) = q. En utilisant à nouveau la formule de Grassmann, on peut écrire :
dim(E) = dim(ker(u ◦ v)) + rg(u ◦ v) = q + rg(u ◦ v)
On en déduit que rg(u ◦ v) = n - q. En remplaçant dans l'inégalité précédente, on obtient :
rg(u) + rg(v) ≥ 2(n - (n - q)) - 2q
rg(u) + rg(v) ≥ 2q
Enfin, en utilisant à nouveau la formule de Grassmann, on peut écrire :
dim(E) = dim(ker(v)) + rg(v) = p + rg(v)

On en déduit que rg(v) = n - p - dim(ker(v)), ce qui donne :
rg(v) ≥ n - p - q
En combinant les deux inégalités précédentes, on obtient :
rg(u ◦ v) ≥ rg(u) + rg(v) - n + p
rg(u ◦ v) ≥ rg(u) + rg(v) - n, puisque p ≤ n.
Cela prouve l'inégalité annoncée.

[gg0]

Rappel pour 143 : Les règles du forum (EXERCICES ET FORUM) sont qu'on aide à faire, mais qu'on ne fait pas à ta place. Même si ici, Stefjm s'est fait plaisir. Et un minimum de politesse est normal. Ton comportement n'est pas acceptable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

J'ai surtout fait l'imbécile, ça m'a pris 10 secondes et je plaide coupable d'avoir copier-coller la production d'une IA.

[gg0]

Ah, je comprends mieux pourquoi j'avais du mal à suivre ce fatras.

Cordialement.