algèbre linéaire

[invite5c4f17b2]

Bonsoir j'ai un problème et je bloque sur la dernière question:
Soit 0 1 0
A= 0 0 0 appartient M3(R)
0 0 1

1) soit C= [M appartient M3(R) / MA=AM]. Montrer que C est un sous espace vectoriel de M3(R). (question faite)
2) Déterminer une base de C (question faite)
3) prouver qu'il n'existe pas de matrice R appartenant à M3(R) telle que R²=A!

voila ce que j'ai comencé :
supposons que R existe alors:
MR²=R²M
donc (MR)R=R(RM)
donc R(MR)R=R²(RM)
donc (RM)R²=R²(RM)

ainsi RM appartient à C ! Ayant trouvé une base précédement on peut alors écrire RM comme une combinaison linéaire de la base et M aussi mais ensuite je ne vois pas coment partir.. ?


Merci
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[invite179e6258]

tu t'es compliqué la vie pour montrer que R est dans C : il suffisait d'écrire R(RR)=(RR)R

[invite5c4f17b2]

D'accord mais où est l'absurdité ensuite ? Puisque je raisonne par l'absurde.

[gg0]

Heu ....

R² est dans C se traduit par AR²=R²A; ce qui est d'ailleurs vrai de façon évidente si R²=A

Et la supposition de base, avec R²=A pourrait être :
Pour tout M appartenant à C, R²M=MR²
Qui donne bien en multipliant à gauche par R : R² RM=RM R²
donc que pour tout M de C, RM est aussi dans C puisque R²=A

Et alors ?

En fait, il va bien falloir utiliser la valeur précise de A, car avec une autre matrice, A=I₃ par exemple, il n'y a aucun problème (I₃=I₃²). Donc ce ne sont pas de petits calculs généraux qui aboutiront.

Je n'ai pas fait la question 2, mais il est possible qu'elle serve. A moins que cette question 3 soit indépendantes des deux premières.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]