Juste besoin d'aide pour la question e de l'exercice 48 et la question 1 de l'exercice 49.
- Deux applications commutent si f o u = u o f c'est ça ?
J'arrive à voir que SI f est sous la forme proposée, f et u commutent mais je n'arrive pas à prouver que f DOIT s'écrire sous cette forme pour que f et u commutent..
- Il faut s'aider de la formule du produit matriciel mais je n'arrive plus à permuter les sommes..
Merci de m'aider.
"Il faut s'aider de la formule du produit matriciel mais je n'arrive plus à permuter les sommes.."
Il n'y a aucun souci pour permuter les sommes puisqu'elles sont finies. Si tu connais comment on exprime le produit matriciel, ça se fait tout seul.
Je pose C=AB
J'ai donc cii = Somme sur k de 1 à n de aik*bki
donc tr(C) = Somme sur i de 1 à n * Somme sur k de 1 à n de aik*bki
Et si D=AB
tr(D) = Somme sur i de 1 à n * Somme sur k de 1 à n de bik*aki
Tu mets des symboles * (multiplier) entre tes sommes qui n'y sont pas. Avec Latex c'est plus comprehensible ...
Cordialement
Merci.
Et pour la question e du premier exercice..
On peut passer par les matrices associées.
f o u = u o f equiv à M(f,B) * M(u,B) = M(u,B) * M(f,B) où B est la base (u²(x0),u(x0),xO) trouvée au (b).
Tu sais que.
Tu poses
Et tu exprimes M(f,B) * M(u,B) , puis M(u,B) * M(f,B).
Ce qui te donne un système avec des conditions sur a,b,c,d,e,f,g,h,i (d=g=h=0 et a=e=i et b=f).
Tu obtiens donc
Eh bien merci beaucoup.
Une dernière question. Pour la question d de l'exercice 48. J'ai réussi de passer de la matrice A à la matrice N, c'est à dire de construire une nouvelle base pour la matrice N en fonction de la base de A. Mais je pense qu'il faudrait faire dans l'autre sens, car on vient de trouver le matrice N dans les questions précédentes et de prouver que B est une base. Comme ça, j'ai un peu plus de mal.
Je pose B'={e1, e2, e3} la nouvelle base de A
En inversant la matrice de passage que j'avais trouvé je trouve
e1 = - u(xo) + xo
e2 = u(xo)
e3 = -u²(xo) - u(xo) + xo
Mais comment je justifie ce choix?
On te demande juste de montrer que A est semblable à N.
Or A² est non nulle et A^3 est nulle. Donc si tu appelles u l'endomorphisme associé à A, u vérifie les conditions du début de l'exercice (u est nilpotent d'ordre 3), d'après les questions précédentes il existe une base dans laquelle N est la matrice associée à u ce qui est équivalent à dire que A et N sont semblables. On ne te demande d'expliciter les matrices de passage.
Comment on se sert de LATEX ?
C'est indiqué dans le 3eme sujet à lire en début de page.
