Espace des fonctions continues sur un ouvert.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Soit un espace topologique compact.
Soient et deux ouverts de .
On note, l'espace des fonctions continues sur l'ouvert .

Est - il possible d'exprimer et en fonction de et ?

En d'autres termes, est ce que, par exemple,

-
-

?

Merci d'avance.
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[Anonyme007]

Pardon, je ne suis pas dans la bonne section. Est ce qu'un modérateur peut-il me déplacer ce fil vers la section : Mathématiques supérieures ?
Merci infiniment.

[MissJenny]

Pour que les égalités que tu as écrites aient un sens, il faudrait que tu définisses C0(U,C) comme l'ensemble des fonctions de X dans C continues sur U, et non comme un ensemble de fonctions de U dans C.

[Deedee81]

Bonjour,

Déplacé au bon endroit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,
Tout ce qu'on peut dire, c'est que est le produit fibré de et au dessus de . c.-à-d. que se donner une fonction continue sur revient à se donner une fonction continue sur et une fonction continue sur dont les restrictions à sont égales.

[Anonyme007]

Merci beaucoup pour vos réponses GBZM et MissJenny.

@GBZM,

Donc, . Ok.

Et pour, ? Est ce qu'on peut écrire, sous la forme avec, à déterminer ?

est la somme amalgamée de base .

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Est ce que, avec, est l’opération différence symétrique ( i.e, ) ?

Merci d'avance.

[GBZM]

Non, ce que tu écris ne fait pas sens.

[Anonyme007]

D’accord. Merci beaucoup.

On considère le morphisme de - algèbre, défini par, .
Quel est le noyau de , noté, ?
Si je ne m’abuse, . C'est ça ?
Donc, ?.

Merci d'avance.

[gg0]

"c'est ça ?" Non.

Le noyau d'un morphisme est une partie de l'espace de départ.

[MissJenny]

pourquoi C*- ? quelle est la norme?

[Anonyme007]

Ah oui, c'est vrai. Merci gg_0.
Je corrige alors,

est l’indicatrice de .
Est ce correct ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

pourquoi C*- ? quelle est la norme?

La norme est la norme uniforme, .

[gg0]

1) Toujours faux pour ker f. Si tu essayais de le définir avec des mots au lieu de jouer avec LaTeX, tu pourrais déjà trouver une définition correcte.
2) Le sup ne donne pas une norme sur un ouvert (cherche pourquoi)

[GBZM]

C'est vraiment un peu n'importe quoi !
Le cas n'a rien de spécial par rapport au cas général d'une inclusion d'ouverts . L'homorphisme de restriction est un homomorphisme de -algèbres, son noyau est l'idéal de formé des fonctions continues nulles sur . Le quotient de par cet idéal n'est pas en général isomorphe à : l'homomorphisme de restriction n'est pas en général surjectif !
La situation est différente avec des fermés dans un espace normal (en particulier dans un espace compact). Là, l'homomorphisme de restriction est toujiours surjectif (voir le théorème de Tietze-Urysohn).

[MissJenny]

l'homomorphisme de restriction n'est pas en général surjectif !

je suppose qu'il l'est si S est connexe (?) en tout cas je ne vois pas contre-exemple dans ce cas...

[GBZM]

Non, mais tu voulais peut-être dire ouvert-fermé dans T ?

[MissJenny]

comme exemple de fonction continue sur S mais qui ne peut être étendue à une fonction continue sur T, je pensais à l'exemple suivant : T = R et S = R \ {0} et f = 0 si x < 0, f = 1 si x >0. Mais si S est connexe je ne vois pas d'exemple (mais je manque d'imagination...)

[GBZM]

Pourtant, ça ne manque pas ! Toujours avec et en prenant , prend ou si tu veux une fonction continue bornée .

[MissJenny]

ah ben oui. J'avais même dû en entendre parler...