Espace localement compact.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Soit un espace topologique localement compact et à base dénombrable.
Comment montrer que est - compact ?

Merci infiniment pour toute indication.
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[Deedee81]

Salut,

Pas taper si je dis une bêtise. Je vais essayer de donner une piste.

L'espace est à base dénombrable, donc si tu considères X lui-même il est la réunion d'un ensemble dénombrable d'ouvert.
Comme il est localement compact, tu peux pour chaque ouvert avoir un voisinage compact qui l’inclus (ce point est à confirmer/démontrer même s'il me semble intuitivement évident)
Et donc X est l'union dénombrable de compacts et donc sigma-compact.

[MissJenny]

Attention : localement compact signifie que tout point a un voisinage compact, mais pas que tout ouvert a un voisinage compact. D'ailleurs l'espace entier est ouvert et n'est pas toujours compact.

[Deedee81]

D'ailleurs l'espace entier est ouvert et n'est pas toujours compact.

Ah zut, oui, en effet. Hé bé voilà pour mon intuition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

La demonstration est directe : pour chaque x dans X, il existe un voisinage compact C_x de x. On prend alors un élément U_x de la base dénombrable de voisinages de X tel que x appartient à U_x et U_x inclus dans C_x. La conclusion s'en suit sans problèmes.

[Deedee81]

Salut,

Une question peut-être bête.

et U_x inclus dans C_x

Comment sait-on qu'on a toujours un U_x tel que cela soit possible ?
(en fait cela ressemble à la remarque de MissJenny et j'ai l'impression que c'est la clé de cette démonstration. Mais je peux me tromper car ta formulation est un peu différente. La réponse ne serait-t-elle pas que l'espace étant séparable on a forcément un U_x de ce type ?)

[syborgg]

Comment sait-on qu'on a toujours un U_x tel que cela soit possible ?
(en fait cela ressemble à la remarque de MissJenny et j'ai l'impression que c'est la clé de cette démonstration. Mais je peux me tromper car ta formulation est un peu différente. La réponse ne serait-t-elle pas que l'espace étant séparable on a forcément un U_x de ce type ?)

C'est simplement d'une part parceque C_x est un voisinage de x, donc contient un ouvert O contenant x. Et d'autre part car O est reunion d'ouverts de la base.

[Deedee81]

C'est simplement d'une part parceque C_x est un voisinage de x, donc contient un ouvert O contenant x. Et d'autre part car O est reunion d'ouverts de la base.

Ah oui d'accord, merci. Assez simple et direct en fin de compte, tu avais raison.

[syborgg]

En fait, la grande majorite des resultats en topologie generale ont des preuves assez directes et faciles. Elles peuvent etre un peu longues,mais elles sont faciles. La topologie generale est utile comme boite a outil pour d'autres parties des maths, comme cadre commun a beaucoup de situations diverses et variees (geometries diverses et variees, analyse, groupes topologiques, logique du premier ordre, etc..), mais en tant que telle elle se developpe facilement, c'est plus un langage qu'une vraie theorie contenant des resultats profonds (un peu comme les espaces vectoriels d'ailleurs). Les seuls problemes difficiles et profonds en topologie generale sont en grande partie associes a des questions de cardinalite dans ZFC

https://www.math.md/files/basm/y2013...37-46).pdf.pdf

[Deedee81]

Merci pour ces précisions.

En fait, la grande majorite des resultats en topologie generale ont des preuves assez directes et faciles.

Mais difficile pour les étudiants (question de "peu intuitif" ? Sais pas. Mais ça sent le vécu (*) En fait j'ai toujours bien aimé la topologie (générale ou différentielle), mais à la fac je devais être un des rares !!!! Mais il n'empêche que je patauge encore parfois)

(*) A la fac, le prof donne une démonstration (assez simple et courte en effet) de "tout espace bien enchainé est connexe". A la fin, il demande "tout le monde a compris ?". Et après le "oui". "Hé bien non c'est faux, qui peut me dire pourquoi". On a eut un peu de mal

[syborgg]

Oui pour des etudiants ca peut parfois sembler compliqué, mais avec du recul, quand on a un peu d'experience, on se rend compte que la topologie generale est essentiellement un langage : il suffit d'en apprendre les bases, et ensuite c'est au pire une question d'ingeniosité dans quelques cas, mais c'est essentiellement jouer avec ce langage a un niveau assez basique.(Ce langage est dans le fond une forme de combinatoire sur les parties d'ensembles).

Il suffit pour s'en convaincre de lire un livre de topologie generale (le Kelley par exemple), et de comparer avec la lecture de livres de geometrie differentielle, geometrie algebrique ou topologie algebrique par exemple : on se rend vite compte que dans le second cas, on arrive assez vite a des resultats difficiles et/ou profonds, ce qui n'est pas le cas de la topologie generale (hormis comme je le disais quand on va dans des questions liees a ZFC), qui se lit facilement et sans difficultés majeures.

Mais oui, je suis d'accord avec toi que, bien que ca soit facile, on s'embrouille parfois et on n'arrive plus a reconstituer une preuve qui pourtant est directe et sans difficultés quand on la prend par le bon bout. Ca m'arrive aussi parfois de me retrouver dans cette situation assez frustrante de perdre du temps a reconstituer une preuve pourtant facile de top generale.