coexistence du discret et du continu (Alain Connes)

[La Limule]

Bonjour,
je suis tombé sur une service conférences intitulée La géométrie et le quantique par Alain Connes.
Elle fait partie d'une série de 12. Donc si vous disposez de 15 heures inoccupées....
Il y parle du probleme des variables aléatoires qui peuvent avoir de valeurs discretes et continues.
Si un ensemble X de tirages possibles donne des résultats dans un continuum, il faut qu'il aie la cardinalité du continu mais dans ce cas on ne peut utiliser X pour jouer a pile ou face sans que pile aie
une infinité de points de X qui donnent pile.
Il dit qu'il y a une solution élégante avec les opérateurs opérant sur l'espace hilbertien dénombrable l2.
les valeurs propres d'une quantité continue vont se trouver sur le spectre (la diagonale) en choisissant la base ad hoc.
il affirme que si on a une grandeur discrete son opérateur ne va pas commuter avec l'opérateur précédent . pas de base commune qui ferait cohabiter le continu et le discret sur la meme diagonale.
Prenons une grandeur qui ne peut prendre les valeurs -1/2 et 1/2
il faudrait que l'opérateur s'écrive
1/2 0
0 -1/2
pas moyen de completer sur la diagonale par des 0 car 0 n'est pas admissible.
Comment est ce possible dans ce formalisme?
merci.









I
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[Anonyme007]

Bonjour,

Si je ne m’abuse, Alain Connes fait peut être allusion à la notion de ''Crossed products'', qui est que,
Se donner deux représentions, une discrète représentée par et l’autre continue représentée par ( On l’appelle représentation covariante ), c'est se donner une représentation sur le produit croisé .

[Anonyme007]

Voir ici, http://users.uoa.gr/~akatavol/5school/ath16ar.pdf

[La Limule]

Merci, je vais regarder ce lien.
Cependant les notions physiques de position et de spin selon une direction ne sont elles pas mesurables simultanement?

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

Il y parle du probleme des variables aléatoires qui peuvent avoir de valeurs discretes et continues.
Si un ensemble X de tirages possibles donne des résultats dans un continuum, il faut qu'il aie la cardinalité du continu mais dans ce cas on ne peut utiliser X pour jouer a pile ou face sans que pile aie
une infinité de points de X qui donnent pile.

il explique en quoi c'est un problème? En général en probabilités on ne précise pas l'ensemble de départ des variables aléatoires, c'est un ensemble abstrait qu'on appelle conventionnellement Omega mais rien n'est dit sur son cardinal.

[albanxiii]

Ne tenez pas compte des message d'Anonyme007, ils sont faux ou hors sujet.
Ceux qui n'ont pas été modérés ont été laissés au titre de la liberté d'expression uniquement.

[La Limule]

@missjenny
Connes écrit que si X est l'ensemble de départ pour des valeurs continues sa cardinalité sera celle du continu et si on
veut utiliser également X comme ensemble de départ pour une grandeur discrete chaque valeur aura une infinité
d'antécédents.il ne va pas plus loin a propos des conséquences.
il dit simplement que si chaque grandeur est associée a un operateur sur l'espace de Hilbert, ne commutant pas
on n'aura pas sur une meme diagonale des valeurs propres continues et discretes.
j'aimerais avoir les détails du formalisme qui relie ici une matrice 2*2 pour le spin a l'operateur multiplication par x pour la position opérant sur un meme espace de Hilbert (et Connes rappelle avec insistance que cet opérateur l2 est unique)

[Anonyme007]

Je ne peux te répondre parce que ce lieu là est entouré de canons. Ce n'est pas moi qui fait loi ici. Je suis un simple visiteur.

[La Limule]

La premiere fois ou je suis tombé sur ce probleme , c'était dans ce pdf
https://indico.math.cnrs.fr/event/78...997/Connes.pdf

[MissJenny]

ça a l'air d'être plus une question de physique que de maths, parce que mathématiquement, rien n'interdit de considérer une application de R vers un ensemble fini.

[La Limule]

J'ai peur etre trouvé ou se trouve la difficulté mathématique (et non physique)
C'est dans la définition de ce qu'est une variable aléatoire (réelle par exemple):
https://fr.wikipedia.org/wiki/Variable_al%C3%A9atoire
Soit (Omegan,F,P) un espace probabilisé et (E.Epsilon) un espace mesurable. une variable aléatoire est alors une fonction mesurable X de Omega vers E.
Il est fait ensuite une remarque sur ce qu'implique la mesurabilité de X en particulier sur les images réciproques par X de tout élément B de la triby Epsilon.
Connes évoquait de facon lapidaire la cardinalité des antécédents d'une valeut discrete coexistant avec des valeurs continues.
Il semble difficile de "mixer" des tribus boréliennes et des tribus discretes

[MissJenny]

on utilise en statistiques des variables aléatoires dont la loi est un mélange d'une loi continue et d'une loi discrète, par exemple celle qu'on appelle "zero-inflated exponential distribution".

[mtheory]

Bonjour,
je suis tombé sur une service conférences intitulée La géométrie et le quantique par Alain Connes.
Elle fait partie d'une série de 12. Donc si vous disposez de 15 heures inoccupées....
Il y parle du probleme des variables aléatoires qui peuvent avoir de valeurs discretes et continues.
Si un ensemble X de tirages possibles donne des résultats dans un continuum, il faut qu'il aie la cardinalité du continu mais dans ce cas on ne peut utiliser X pour jouer a pile ou face sans que pile aie
une infinité de points de X qui donnent pile.
Il dit qu'il y a une solution élégante avec les opérateurs opérant sur l'espace hilbertien dénombrable l2.
les valeurs propres d'une quantité continue vont se trouver sur le spectre (la diagonale) en choisissant la base ad hoc.
il affirme que si on a une grandeur discrete son opérateur ne va pas commuter avec l'opérateur précédent . pas de base commune qui ferait cohabiter le continu et le discret sur la meme diagonale.
Prenons une grandeur qui ne peut prendre les valeurs -1/2 et 1/2
il faudrait que l'opérateur s'écrive
1/2 0
0 -1/2
pas moyen de completer sur la diagonale par des 0 car 0 n'est pas admissible.
Comment est ce possible dans ce formalisme?
merci.









I

Bonjour,
Je ne comprends pas vraiment votre problème mais il y a des choses que je sais qui sont peut-être utiles.
Si je prends l'opérateur hamiltonien d'un atome d'hydrogène il possède un spectre en partie discret avec des valeurs propres et des fonctions propres qui définissent les états d'énergie lié de l'hamiltonien mais celui-ci décrit aussi des états de diffusion, sous l'effet d'un faisceau de particules par exemple des électrons bombardant des atomes d'hydrogène, et l'autre partie du spectre est continue avec des états d'énergie variant continument.
De ce que je crois comprendre, Connes dit souvent que la théorie des algèbre de von Neumann décrivant justement en particulier les opérateurs hamiltoniens en physique quantique permet d'avoir un même type d'objets englobant des ensembles discrets et continus.

[La Limule]

Bonjour Mtheory,
Quand on apporte de l'énergie a l'atome d'hydrogene on fait passer de l'etat fondamental a n etat d'énergie plus elevé.
Si l'apport avait été plud élevé on serait passé a un état discret plus énergétique etc
Jusqu'a ce qu'on arrive a une énergie ou on passe du discret au continu: celui des paricules arrachées de l'atome et qui peut avoir
n'importe quelle énergie.
ce que je vois plutot qu'une coexistence du discret et du continu me fait plutot penser a un régime d'apartheid.il y a une frontiere
avec le discret d'un coté et le continu de l'autre.
la coexistence me ferait plutoy penser a un disque avec une densité surfacique avec quelques masses poncteiles a certains endroits.

@Missjenny
je vais faire une recherche sur google pour trouver cette distribution.

[mtheory]

Bonjour Mtheory,
Quand on apporte de l'énergie a l'atome d'hydrogene on fait passer de l'etat fondamental a n etat d'énergie plus elevé.
Si l'apport avait été plud élevé on serait passé a un état discret plus énergétique etc
Jusqu'a ce qu'on arrive a une énergie ou on passe du discret au continu: celui des paricules arrachées de l'atome et qui peut avoir
n'importe quelle énergie.
ce que je vois plutot qu'une coexistence du discret et du continu me fait plutot penser a un régime d'apartheid.il y a une frontiere
avec le discret d'un coté et le continu de l'autre.

Il y a un apartheid pour les hamiltoniens dont je parle, ou effectivement on a une sorte de somme directe de deux espaces vectoriel sauf erreur de ma part, mais le formalisme générale C* algèbres utilisées en MQ me semble donner, si je le comprends, une description d'objets avec un spectre arbitraire, certains purement discrets, d'autres purement continus comme pour les opérateurs positions et d'autres mixtes. Donc je peux construire des opérateurs qui codent des ensembles discrets et ou continus dans un cadre unifié.

[La Limule]

Je reviens sur une chose qui m'intrigue beaucoup,
c'est quand Connes dit que les opérateurs ayant un spectre discrets (comme multiplication par x) et ceux a spectre discrets (le spin?)
ne commutent pas sinon ils auraient une base commune et 1/2 apparaitrait une infinité de fois)
Mais alors comment cet opérateur agit il sur l'ensemble des vecteurs de H?
Veux tu que je t'indique le passage ou il dit ca dans une de ses vidéos?
(mais il l'écrit déja rapidement dans les premieres pages du lien du cnrs ou Missjenny a objecté que c'était de la physique)

[mtheory]

Je reviens sur une chose qui m'intrigue beaucoup,
c'est quand Connes dit que les opérateurs ayant un spectre discrets (comme multiplication par x) et ceux a spectre discrets (le spin?)
ne commutent pas sinon ils auraient une base commune et 1/2 apparaitrait une infinité de fois)
Mais alors comment cet opérateur agit il sur l'ensemble des vecteurs de H?
Veux tu que je t'indique le passage ou il dit ca dans une de ses vidéos?
(mais il l'écrit déja rapidement dans les premieres pages du lien du cnrs ou Missjenny a objecté que c'était de la physique)

La solution c'est que la fonction d'onde est un produit tensoriel de deux fonctions, la fonction d'onde dépendant des coordonnées spatiales et la fonction d'onde qui dépend des valeurs de spin

[La Limule]

je reciens sur la coexistence problematique du discret et du continu que signale Alain Connes.
Il disait que si on a du discontinu les antécédents des evenements discrets ont une cardinalité infini.
Et on se demandait pourquoi.
cette histoire de cardinalité est bien expliquée par le théoreme d'Ulam
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...%A8me_d%27Ulam
on y voit bien l'opposition discret continu avec les probilités diffuses.

[gg0]

Bonjour.

Le théorème d'Ulam dit qu'il n'y a pas de mesure diffuse sur (R,P(R)). L'interprétation donnée juste après le théorème dans la page Wikipédia est une énorme erreur : Le contraire de diffuse c'est "pas diffuse", c'est à dire "qui a des atomes", pas "discrète", qui demande que la probabilité (plus généralement la mesure) soit répartie sur un ensemble au plus dénombrable. Il existe de nombreuses probabilités qui ne sont ni sans atomes, ni discrètes. Voir le message #12 de Missjenny.

Cordialement.