Convergence uniforme de sommes de Riemann

[FCM1]

Bonjour à tous,
Je me pose une question. Soit un réel, I=[a,+∞[, et f : I -> C une application continue par morceaux sur I. Alors à quelle condition sur f les applications gn qui à x appartenant à I associent la somme pour k allant de 0 à n-1 de f(a+k(x-a)/n)(x-a)/n (sommes de Riemann) convergent uniformément vers g qui à x appartenant à I associe l'intégrale de a à x de f ? On sait la convergence simple, mais je me demande si on peut la rendre uniforme et à quelle condition.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses.
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[GBZM]

Bonjour,
Pas grand espoir d'avoir une convergence uniforme sur , sauf pour une fonction constante ...
Une convergence uniforme sur tout compact de , c'est déjà plus raisonnable - et ça marche par exemple pour des fonctions (voir la majoration de l'erreur dans l'estimation d'une intégrale par une somme de Riemann pour une telle fonction).

[FCM1]

Bonjour,
Je vous remercie pour votre réponse. Ne pensez-vous pas pouvoir obtenir une convergence uniforme sur I si le module de la fonction décroit suffisamment vite vers 0 quand x tend vers l'infini ?

[GBZM]

Je suis sûr que non.

[A voir en vidéo sur Futura]