Catégories opposées

**La Limule** · 22/08/2023, 15h45

Bonjour,

Je suis tombé sur une vidéo ou parlait du produit cartésien (de groupes) et de son coproduit le produit libre.
Ces deux catégories opposées ont des propriétés universelles ou le sens des fleches est inversé.
La vidéo montrait que le produit cartésien (M,N) n'était pas la la solution cherché pour le second probleme universel
dont la solution est notée M*N (produit libre de M et N).
Existe t il des cas ou il y un meme objet comme solution?
Merci.

**GBZM** · 22/08/2023, 20h20

Bonsoir,
Beaucoup d'approximations dans ce que tu écris !
Si je comprends bien ta question, le produit et le coproduit dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K donnent des espaces vectoriels isomorphes. Je parle de deux espaces, pour une famille infinie d'espaces ce n'est plus le cas.

**La Limule** · 22/08/2023, 22h54

Merci pour la réponse.
Je suis bien conscient de mal maitriser le langage des catégories.
La vidéo dont je parlais est celle ci:
https://www.youtube.com/watch?v=_M6IW8OryK8
il parle des produits libre vers la moitié.

**GBZM** · 23/08/2023, 10h04

As-tu compris ce que j'ai écrit ? C'est simplement que si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des espaces vectoriels, alors $\text{[math]}$ est canoniquement isomorphe à $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**La Limule** · 23/08/2023, 10h36

Si je te suis donc:
"ta question, le produit et le coproduit dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K donnent des espaces vectoriels
isomorphes. Je parle de deux espaces,"
tu réponds par l'affirmative a ma question initiale : il y aurait des cas ou produit = coproduit (a un isomorphisme pres)
Je suis preneur.
Soient donc deux espaces vectoriels sur R de dimension finie (2 et 3),
Que sont ici ces produits et coproduits isomorphes?
Comment démontrer l'existence de cet isomorphisme?

**GBZM** · 23/08/2023, 11h35

Mais je te l'ai écrit ! Le produit est bien évidemment le produit (avec les deux projections sur les facteurs, qui sont bien linéaires) et le coproduit est la somme directe (avec les injections des deux composantes dans la somme directe. Je te laisse décrire l'isomorphisme (il est assez évident si on sait ce que sont le produit et la somme directe d'espaces vectoriels). Je telaisse aussi formuler et vérifier les propriétés universelles du produit et de la somme directe.

**GBZM** · 27/08/2023, 15h44

La Limule a laissé tomber.
Pour éviter que ce fil se termine en queue de poisson :
Commençons par la somme directe $\text{[math]}$ . Ses éléments sont les sommes $\text{[math]}$ d'un élément de $\text{[math]}$ et d'un élément de $\text{[math]}$ ; on a les deux injection linéaires $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Propriété universelle (celle du coproduit) : étant donné deux applications linéaires $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , il existe une unique application linéaire $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ; elle est définie par $\text{[math]}$ .
Continuons par le produit $\text{[math]}$ . Ses éléments sont les couples $\text{[math]}$ d'un élément de $\text{[math]}$ et d'un élément de $\text{[math]}$ ; on a les deux projections linéaires $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Propriété universelle (celle du produit) : étant donné deux applications linéaires $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , il existe une unique application linéaire $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ; elle est définie par $\text{[math]}$ .
On a une application linéaire canonique du produit dans la somme directe, définie par $\text{[math]}$ . C'est un isomorphisme.

**albanxiii** · 27/08/2023, 20h33

Merci à tou.te.s, en l"occurrence Biname, de ne pas faire dévier le fil et de ne pas s'en servir comme moyen de règlement de compte de ce qui a pu se passer sur d'autres fils.
La modération aura une tolérance zéro face à ce genre d'attitude puérile et non productive.

**La Limule** · 27/08/2023, 23h56

Merci a la modération de ne pas avoir fermé ce fil.
Je n'avais pas laissé tomber, mais j'avais continué a chercher des réponses dans wiki etc
Pour les produits (X,Y) ca va encore , ce qui coince ce sont les coproduits en particulier les produits libres
notés X * Y. avec les mots , les concaténations, leurs réductions ...
Je vois a peu prés comment ils sont formés pour les groupes mais je n'ai pas trouvé un exemple concret ou la propriété universelle
est a l'oeuvre.
Le produit tensoriel est il un tel cas de coproduit?

**GBZM** · 28/08/2023, 06h52

J'apprécierais que tu lises ce que j'écris.
Je t'ai donné un exemple concret de coproduit avec sa propriété universelle : la somme directe dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K. Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
Tu parles du produit tensoriel. Ce n'est pas un coproduit dans la catégorie des espaces vectoriels sur K.

**La Limule** · 28/08/2023, 09h31

Oui, tu as répondu a la question du post 1: oui il y a des cas simples ou on a isomorphisme.
Mais dans cette question j'indiquais une vidéo ou on parlait de cas ou cet isomorphisme ne répondait pas au probleme exposé.
il fallait utiliser les produit libres M * N
Les produits libres ont ils été abordés sur ce forum?

**GBZM** · 28/08/2023, 10h38

J'ai jeté un coup d'oeil à la vidéo. Mouais ... un peu trop bordélique à mon goût.
Le produit libre de groupes est le coproduit dans la catégorie des groupes. Ce qui est important est sa propriété universelle, sa construction à l'aide de mots est plus anecdotique.
Dans la catégorie des groupes abéliens, le coproduit de deux groupes abéliens est isomorphe à leur produit produit : ça se passe comme pour les espaces vectoriels.
Que cherches-tu, en fait ?

**La Limule** · 28/08/2023, 16h43

Une précision sur les produits tensoriels comme exemple de coproduit.
Tu m'as répondu que le produit tensoriel n'ést pas un coproduit dans la catégorie des espaces vectoriels sur K.
Mais c'est un exemple de coproduit dans l'espace des A modules
si on note (A,B) l'ensemble des couples (leur produit), pour construire leur coproduit, on part de l'ensemble des applications
de (M,N) dans A. un couple (m,n) étant identifié a la fonction nulle partout sauf pour (m,n) quie donne l'élément neutre
puis on quotiente etc
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produi...e_deux_modules

**GBZM** · 28/08/2023, 18h01

Mais c'est un exemple de coproduit dans l'espace des A modules

FAUX !
Déjà, applique toi à utiliser une terminologie correcte : ce n'est pas l'espace des $\text{[math]}$ -modules, mais la catégorie des $\text{[math]}$ -modules.
Ensuite, dans la catégories des $\text{[math]}$ -modules, le coproduit est la somme directe, comme pour les $\text{[math]}$ -espaces vectoriels, comme pour les groupes abéliens.
Si ton intention est d'avoir les idées claires sur le sujet, plutôt que d'interpréter de travers des trucs que tu picores ça et là sur internet, tu ferais mieux de prendre un bon cours et de l'étudier sérieusement !

Le produit tensoriel (sur $\text{[math]}$ ) est un exemple de coproduit dans la catégorie des $\text{[math]}$ -algèbres commutatives. Exemple : le coproduit de la $\text{[math]}$ -algèbre de piolynômes $\text{[math]}$ par la $\text{[math]}$ -algèbre de polynôme $\text{[math]}$ est la $\text{[math]}$ -algèbre de polynômes en deux variables $\text{[math]}$ .

**La Limule** · 28/08/2023, 23h50

Il est inutile de me crier dessus en utilisant des majuscules et en mettant des points d'exclamation partout.
J'ai certes 76 ans mais je ne suis pas completement sourd.
Lis ceci
https://fr.wikipedia.org/wiki/N%C3%A...faire%20%C2%BB.

**albanxiii** · 29/08/2023, 08h16

Suite à un signalement reçu, la modération rappelle qu'elle est là pour faire respecter la charte, pas pour gérer les susceptibilités individuelles.
Chacun s'exprime comme il l'entend, tant que cela reste conforme à la charte, il n'y a rien à modérer.

**GBZM** · 29/08/2023, 08h47

Oui, j'ai écrit FAUX en majuscules parce que cela fait plusieurs fois depuis le début de ce fil que tu fais preuve d'une interprétation très approximative, et même erronée, de ce que tu lis.
Un petit rappel à l'ordre pour t'inciter à lire avec plus d'attention. Par exemple, il n'est écrit nulle part, et pour cause, dans la page wikipedia sur le produit tensoriel de modules que celui-ci est un coproduit dans la catégorie des modules. Alors, abstiens toi d'écrire "Une petite précision ... " pour quelque chose que tu as compris de travers.
Les mathématiques et l'à peu près font difficilement bon ménage. Je sais, ce n'est pas très ludique, mais c'est comme ça ...

**Deedee81** · 29/08/2023, 09h40

Envoyé par GBZM

Les mathématiques et l'à peu près font difficilement bon ménage

Pas qu'en math d'ailleurs

Bon, Limule, faut pas se formaliser sur le mot écrit en majuscule, moi je l'ai plutôt pris comme une marque de "stupéfaction", un bon vieux "my god"

GBZM a donné des explications précises dans ce message. On peut reprendre à partir de là (si, si je suis la discussion que je trouve intéressante)

Catégories opposées

Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Re : Catégories opposées

Discussions similaires

[Enigme]Les faces opposées d'un dé

Pourquoi deux marées opposées ?

Cinetique des réactions opposées

ondes sonores d'amplitudes opposées

Les catégories grammaticales sont-elles des catégories universelles de l'entendement?