Bonjour,
J'ai cet exercice à faire :
Soient x0 et y0 deux nombres réels. Soit h >0. On définit par récurrence, pour tout n>0, xn+1=xn−hyn et yn+1= yn+hxn.
1. On introduit le nombre complexe zn=xn+iyn. Exprimer zn en fonction de n et de z0.
Je ne vois vraiment pas comment faire, pourriez-vous me donner une indication s'il vous plaît ?
Merci d'avance !
Bonjour.
Dans un premier temps, tu peux exprimer zn+1 en fonction de zn.
A toi ...
Cordialement.
Bonjour,
Merci pour votre réponse, j'ai trouvé : zn+1 = zn + h(-yn+ixn)
J'ai pensé à utiliser la méthode du point fixe ensuite pour exprimer zn en fonction de n et de z0 mais je ne vois pas du tout comment faire car on ne connaît ni yn et ni xn...
tu as un i xn qui peut faire penser à i zn; au fait combien vaut i zn ?
Ah oui ! izn vaut ixn-yn et donc on obtient zn+1=zn+hizn ?
Un réflexe élémentaire : factoriser. Ici, c'est la clef du problème.
Bonjour,
J'ai factorisé, et j'ai trouvé : zn+1 = zn(1+hi). Du coup, j'ai fait zn+1/zn = 1+hi/zn. Donc la raison de la suite est 1+hi, et on obtient zn=z0 (1+hi)^n ?
C'est plutôt zn+1/zn = 1+ih
Et on a bien une suite géométrique.
D'accord parfait ! Merci beaucoup pour votre aide !
J'aurais besoin d'aide pour la deuxième question aussi s'il vous plaît. Je dois calculer la limite de (xn)^2+(yn)^2 lorsque n tend vers +oo en utilisant zn.
Comme on a z=xn+iyn, j'ai pensé à faire z multiplié par le conjugué donc z barre, ce qui donne :
zzbarre =(xn+iyn)(xn-iyn)
zzbarre = (xn)^2-xniyn+iynxn+(yn)^2
zzbarre = (xn)^2 + (yn)^2
Sauf que je ne parviens pas à calculer zbarre car je trouve que zn+1barre est égal à znbarre + hzn, donc je ne peux pas exprimer zn+1barre en fonction de znbarre...
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
Bonjour.
Comme tu sais exprimer z en fonction de z0 et de h, tu peux facilement exprimer x^2 +y^2=|z|^2 en fonction de |z0 | et de h (tu aurais pu exprimer le conjugué ainsi, mais ce n'est pas utile).
Cordialement.
Merci pour votre réponse.
Voilà ce que j'ai fait :
Comme on a : x^2 + y^2 = |zn|^2
On peut écrire que : x^2 + y^2 = (|z0(1+hi)^n|)^2
Donc : x^2 + y^2 = |z0|^2 x (|(1+hi)^n|)^2
Or : (|(1+hi)^n|)^2 = (|(1+hi)|)^2n car |z^n| = |z|^n
|(1+hi)| = sqrt(1+h^2)
En conclusion : x^2 + y^2 = |z0|^2 x (1+h^2)^n
Donc la limite de x^2+y^2 est +oo car 1+h^2>1.
Est-ce que mon raisonnement marche ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Bonsoir.
Tout fonctionne !
Cordialement.
