Bonjour, aujourd'hui j'ai vu la notion de famille indexée, et plus particulièrement dans le cas des réunions et intersections.
On a vu l'exemple suivant:
Inter[x∈ réels strictement positifs](](-1/x)+1;1[)= ∅
Je ne comprends pas pourquoi cette intersection d'intervalles est égale à ∅, plutôt qu'elle "tend" vers ∅.
Si quelqu'un a une explication je suis preneur.
Merci et bonne journée
l'intersection est vide parce qu'aucun réel n'en est élément, ce qui est facile à démontrer par l'absurde.
Ce que je n'arrive pas à comprendre c'est que malgré le fait qu'on aura jamais l'intervalle ]1;1[, on a quand même un intervalle final vide et pas un intervalle ]y,1[ avec y qui tend vers 1.
Bonjour.
II ne faut pas confondre une intersection et une limite. Applique la définition de l'intersection sans te laisser distraire par le fait que l'ensemble d'indices est infini (ça n'a aucune importance).
1 n'est dans aucun des intervalles comme tous les réels supérieurs, ou ceux qui sont négatifs. Ceux qui sont strictement entre 0 et 1 ne sont pas dans une infinité des intervalles qu'on intersecte.
Cordialement.
Bonjour,
Il faut revenir aux définitions. Soitune famille de parties d'un ensemble
En particulier
Tu en connais beaucoup, toi, des réels
Tu te fais une idée d'intersection d'intervalles comme un intervalle "mobile". Ben non, l'intersection est un intervalle fixe, ici réduit au vide.
Lire
Il me semble que 1-1/x<1 donc il y a une infinité de a avec a∈R qui vérifient 1-1/x<a<1 avec x>0.
Tu sembles avoir des problèmes avec les quantificateurs, en amont de tes problèmes avec l'intersection.
Connais-tu beaucoup de réels
Bon il me reste encore beaucoup de choses à apprendre à ce que je vois ! mais donc quelle est mon erreur dans ma réponse précédente? n'y a-t-il pas une infinité de a qui vérifient l'inéquation 1-1/x<a<1 pour tout x>0?
Dernière modification par Martin2301 ; 16/09/2023 à 15h46.
Pour tout x>0, il y a une infinité de a qui vérifient 1-(1/x) < a < 1.
Il n'y a aucun a qui vérifie que pour tout x >0, 1-(1/x) < a < 1.
Ces deux phrases sont bien différentes, elles sont vraies toiutes les deux.
C'est indispensable de bien comprendre ça (comprendre le fonctionnement des quantificateurs universels et existentiels).
La définition de l'intersection d'une famille de parties repose sur la compréhension du quantificateur universel.
Autre exemple :
1) Pour tout entier n, il y a une infinité d'entiers a plus grands que n
2) il n'y a aucun entier a plus grand que tout entier n.
Ah oui j'ai pas précisé dans ma phrase :"il y a une infinité de a avec a∈R qui vérifient 1-1/x<a<1 avec x>0" que c'était "pour tout réel x", mais vu que vous l'aviez précisé avant j'en voyais pas l'utilité, j'ai été négligeant. Mais donc pour retourner sur le sujet initial, et pour répondre à votre question: "Tu en connais beaucoup, toi, des réels qui vérifient 1-1/x<a<1 pour tout réel x>0?" ma réponse est: oui je connais une infinité de a∈R respectant ces conditions. Qu'est-ce que je suis sensé en déduire?
1)Pour tout x>0, il y a une infinité de a qui vérifient 1-(1/x) < a < 1.
2)Il n'y a aucun a qui vérifie que pour tout x >0, 1-(1/x) < a < 1.
Si je comprends bien la différence dans 1, a "dépend" de x, pour chaque x on peut lui "associer une infinité de a" et dans 2, on dit qu'il y a "un a absolu, unique", qui vérifie pour tout x cette inéquation.
Tu n'as pas compris mon dernier message .
Donne moi un réel a qui vérifie que pour tout x>0 on a 1-(1/x) < a < 1
PS. Ah, si , dans ton dernier message il semble que les choses s'éclaircissent pour toi. Bon, le "unique" de la dernière ligne est de trop.
Dernière modification par GBZM ; 16/09/2023 à 16h17.
Je comprends maintenant le sens de la question initiale, je trouve que la question posait en français est moins "compréhensible" qu'avec des quantificateurs. Donc non je ne connais pas de a qui vérifient pour tout x>0, 1-1/x<a<1.
En mathématiques (et aussi dans le langage courant, en fait) :
"Pour tout x il existe a tel que blabla" : on peut trouver en fonction de x un a qui marche (et qui dépend de x)
" Il existe a tel que pour tout x bla bla" : on peut trouver un a qui marche pour tous les x
Ceci veut exactement dire, d'après la définition de l'intersection, que l'intersection des intervalles ] 1-(1/x), 1 [ pour x>0 est vide.Donc non je ne connais pas de a qui vérifient pour tout x>0, 1-1/x<a<1.
D'accord au moins pour ce point je suis calé pour mon ds de lundi, merci.
Mais je ne comprends toujours pas comment l'intervalle peut être vide alors que dans l'intersection il n'y a pas une seule fois ]1,1[
Encore une fois, reviens à la définition de l'intersection !!!
Tu as une idée préconçue de l'intersection qui bloque ta compréhension de la définition. La définition, toute la définition, rien que la définition !
Je suis retourné voir la définition, et de ce que j'ai compris (ou non), c'est que l'intersection d'une famille d'ensemble, c'est un ensemble qui comprend toutes les valeurs communes à tous les intervalles intersectés.
J'ai écrit la définition plus haut, dans mon premier message. Bizarrement, toutes les formules ont disparu !
Un élément appartient à l'intersection d'une famille d'ensembles si et seulement s'il appartient à TOUS les ensembles de cette famille. Comme il n'y aucun réel qui appartient à TOUS les intervalles ]1-(1/x),1[ où x est un réel >0, l'intersection de ces intervalles est vide.
Ah d'accord ! mais ne pouvons nous pas imaginer un réel y tq y tend vers 1 et puisse appartenir à tous les intervalles ? car 1-1/x n'atteindra jamais 1[
J'ai rajouté une image pour exprimer ce que je veux dire
Dernière modification par Martin2301 ; 16/09/2023 à 17h42.
Une fonction qui tend vers 1, une suite de réels qui tend vers 1, ça existe.
Un réel qui tend vers 1, ça n'existe pas !!! Un réel, ça reste à sa place et ça ne bouge pas.
Tu as des idées fausses sur les objets mathématiques. C'est embêtant parce que ces idées bloquent ta compréhension. J'insiste lourdement, mais il faut absolument s'en tenir aux définitions et laisser de côté les idées préconçues.
Je reformule, alors y n'est pas un réel, mais une variable qui tend vers 1 tq pour tout y: x-1/x<y<1, c'est mieux ? Je suis encore au début de mon apprentissage des maths, mais est-ce que vous voyez ce que je veux dire malgré les erreurs sur certains objets?
Dernière modification par Martin2301 ; 16/09/2023 à 18h10.
Alors, si tu es au début de ton apprentissage, sois humble et accepte de jouer aux mathématiques suivant les règles reconnues, pas suivant celles que tu t'imagines ou que tu aimerais avoir de façon floue. Un intervalle de
C'est très bien de s'imaginer des choses, mais ça ne peut prendre de sens que si tu maîtrises déjà le b-a-ba et que les choses que tu imagines s'organisent en un ensemble cohérent. Pour le moment, une n+1-ème fois, tiens-toi aux définitons : une intersection d'intervalles, c'est l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à tous ces intervalles et rien d'autre, pas un ensemble de variables qui tendent vers ci ou ça !
