Comparer le produit scalaire et le déterminant dans le plan

[mgtoul]

Bonjour,
Deux vecteurs du plan u et v étant donnés, on peut définir le produit scalaire et le déterminant comme suit :
et det
On peut montrer à partir de ces définitions que le produit scalaire est une forme bilinéaire définie positive et que le déterminant est une forme bilinéaire antisymétrique.
En prenant une base orthonormée du plan; on montre que si u(x,y) et v(x',y') dans cette base alors et det.

Ma question : les formules analytiques (avec les coordonnées) ne sont valables que si les vecteurs sont exprimés dans une base orthonormée (si on prend les définitions avec les cos et sin).
Ce que je ne comprends pas c'est que dans les cours de maths, le produit scalaire est défini avec le cosinus mais le déterminant lui n'est défini qu'à partir des coordonnées des vecteurs dans une base quelconque du plan (orthonormée ou non). Pourquoi a-t-on fait ce choix ? Pourquoi cette différence de définition entre le produit scalaire et le déterminant ?

Merci.
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[GBZM]

Bonjour,
Le déterminant de vecteurs dans un espace vectoriel de dimension est défini par rapport à une base de cet espace.
La formule que tu donnes, avec le sinus, est celle du déterminant de deux vecteurs par rapport à une base orthonormée directe d'un plan euclidien orienté (le sinus d'un angle ne fait sens que dans un plan euclidien orienté). On peut travailler dans n'importe quelle b.o.n. directe parce la matrice d'un changement de b.o.n. directe est de déterminant 1.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Pour préciser la réponse de GBZM, le déterminant d'une matrice M est invariant par changement d'une base directe à une autre base directe. Soit P, une telle matrice de changement e base, alors:

[GBZM]

Paraboloïde_Hyperbolique, tu ne précises pas, tu embrouilles en disant des choses fausses.
Le changement de base d'une matrice , si la matrice de passage est , est , qui a toujours même déterminant que quel que soit le changement de base. C'est le fait que le déterminant d'un endomorphisme est bien défini, indépendamment de la base dans laquelle on écrit la matrice de l'endomorphisme.
mgtoul, je te conseille d'ignorer l'intervention de Paraboloïde_Hyperbolique.

On peut préciser ce qui se passe pour le déterminant d'une famille de vecteurs dans la base d'un espace vectoriel de dimension , soit . Si est la matrice de passage de la base à la base , alors .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Mince, j'ai en effet écrit n'importe quoi. Merci de la correction.

[GBZM]

On a tous des moments d'égarement. Pas grave.

[MissJenny]

ça arrive que l'inverse d'une matrice soit sa transposée...

[mgtoul]

Bonjour,

GBZM tu dis que "la matrice d'un changement de base orthonormée directe est de déterminant 1".
Je n'arrive pas à voir comment on prouve ce résultat. Par ailleurs, je n'arrive pas à voir comment manipuler l'information det P=1.
La seule chose que je sais c'est que la matrice d'un changement de base est inversible et de déterminant non nul; mais je ne sais pas extraire plus d'information lorsque ce déterminant vaut 1.

[GBZM]

Une matrice de changement de b.o.n. est une matrice orthogonale, qui vérifie . Donc , d'où . Si de plus les deux b.o.n. définissent la même orientation, alors le déterminant de la matrice de changement de base est ; c'est la définition de l'orientation. Donc .

[mgtoul]

OK j'ai compris merci.