Produit scalaire dans un plan complexe

[invite9a322bed]

Bonsoir,

Dans mon cours de terminale, je n'ai pas vu le produit scalaire dans les complexes, donc je me pose une question, est que c'est la même chose que dans un plan cartésien ?

Merci,
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[invite07dd2471]

ça dépend de ce que tu appelles dans les complexes.. en fait un produit scalaire est défini sur un espace vectoriel E, qui peut-être de n'importe quelle dimension.. infinie même si tu veux ( des espaces vectoriels de fonctions par exemple )

après cet espace vectoriel peut-être réel ou complexe

Le corps C peut-être un espace vectoriel réel ou complexe. En terminale il est vu comme un espace vectoriel réel, assimilé à IR². Donc tu peux définir ton ps comme z.z' = xx' + yy'

de manière générale, un produit scalaire sur un espace vectoriel E est une application du produit cartésien ExE vers IR. ( pour un produit scalaire réel ) cette application vérifie les propriétés suivantes : elle est bilinéaire ( linéaire à droite et linéaire à gauche ) symétrique ( u scalaire v = v scalaire u ) et définie positive ( u scalaire u 0 ça c'est positive et si tu rajoutes u scalaire u 0 => u=0 c'est définie positive )


par exemple l'espace des fonctions continues sur [0;1] est un espace vectoriel ( admet le pour le moment)
si tu définis l'application <,> par : quelque soient f,g appartenant à E, <f,g> = ben c'est un produit scalaire..

[invitebe08d051]

Salut je suis en terminale
Oui Sa existe effectivement tu peut calculer par exemple AB scalaire AC (vecteurs) à partir des affixes de a b et c , je connais la formule mais je ne peut pas l'écrire car je ne me suis pas encore habituer au Latex mais je vais essayer.

[invite9a322bed]

Merci beaucoup pour cette réponse, mais mimo parle d'une formule ! Peux tu la donner ? Ou bien il a tort ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Je pense qu'il s'agit de la formule donnée par fitzounet : le produit scalaire de et de ( et étant des réels) est .

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour

le produit scalaire de et de ( et étant des réels) est .

et on retrouve le produit scalaire dans ...

si tu définis l'application <,> par : quelque soient f,g appartenant à E, <f,g> = ben c'est un produit scalaire..

Et pour des fonctions à valeurs dans , un produit scalaire est

[invite9a322bed]

Merci, j'ai posé tout simplement cette question, car travailler dans un plan complexe représente un avantage pour utiliser les formules de transformations géométrique !

[invite07dd2471]

oui c'est sûr. et comme tu peux assimiler C à IR², avec l'axe réel axe des abscisses et imaginaire des ordonnées, pas de soucis

[kaderben]

Bonjour

La formule a été donnée dans une question d'un bac étranger de cette année 2019.
Z=a+ib, Z'=a'+ib'
produit scalaire = Z*Z'_ + Z_ *Z'

[albanxiii]

Bonjour,

Je pense que vous vouliez écrire (le symbole * sert aussi à indiquer la conjugaison complexe dans certains livres).

C'est une définition possible d'un produit scalaire. Il y en a d'autres.
La définition d'un produit scalaire est : forme bilinéaire symétrique définie positive. Il suffit donc de construire une expression qui vérifié ces propriétés pour pouvoir l'appeler "produit scalaire".

[kaderben]

Pour plus de détail voici la question complète:

Soit deux vecteurs W et W' d'affixes respectifs Z et Z'
Montrer que si W et W' sont orthogonaux alors Z.Z'_ + Z_ .Z' =0 ( Z_ signifie le conjugué et le point signifie une multiplication je pense ! c'est du niveau terminale S)

Remarque: l'énoncé ne mentionne pas que Z.Z'_ + Z_ .Z' est le produit scalaire, c'est moi qui l'ai pensé !

Voici ce que j'ai fait:

W(a,b), W'(a',b')
donc aa'+bb'=0 car vecteurs orthogonaux.

Z=a+ib, Z'=a'+ib'
(a+ib)(a'-ib')+(a-ib)(a'+ib')=......
=2(aa'+bb')=0

[invite3b3023e5]

Bonjour

Albanxiii, je ne pense pas qu'il ai vu cela en terminale, moi même je l'ai vu en 2nd année de prépa

Il faut juste se dire en terminal qu'un complexe c'est un vecteur, d'abscisse sa partie réelle et d'ordonnée sa partie imaginaire.

[kaderben]

Bonjour
Ce n'est pas au programme TS en France mais c'est au programme de certains bacs étrangers.

Z.Z'_ + Z_ .Z' =2*W1W2