produit scalaire dans l'espace

[invite56f88dc9]

Bonjour.
J'ai un peu de mal avec un exo qui semble plutôt facile dont voici l'énoncé :
1) On suppose u, v, et w ( et u v w sont des vecteurs).
Montrer que la norme au carré de (u+v+w) = norme au carré de (u) + norme au carré de (v )+ norme au carré de (w).
2) Etudier la propriété réciproque.

Pouvez vous me donner des pistes svp.
-----

[invite6b1e2c2e]

Bonjour.
J'ai un peu de mal avec un exo qui semble plutôt facile dont voici l'énoncé :
1) On suppose u, v, et w ( et u v w sont des vecteurs).
Montrer que la norme au carré de (u+v+w) = norme au carré de (u) + norme au carré de (v )+ norme au carré de (w).
2) Etudier la propriété réciproque.

Pouvez vous me donner des pistes svp.

Je pense que tu as du mal à le démontrer tout simplement parce que c'est faux !! Il doit y avoir des hypothèses sur u, v et w quelque part.
Sinon, cela entrainerait, avec des vecteurs de R que pour tout x,y,z rééls,
(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2
Après, tu peux même prendre z=0 si il te semble encore que ça a des chances d'être vrai. Tu obtiens
xy = 0 Pour tout x et y !!!!! Je ne crois pas...

En gros, peut-être que tout est dans la fin de la phrase que tu as escamotée au 1)...
__
rvz

[invite6de5f0ac]

Bonjour.
J'ai un peu de mal avec un exo qui semble plutôt facile dont voici l'énoncé :
1) On suppose u, v, et w ( et u v w sont des vecteurs).
Montrer que la norme au carré de (u+v+w) = norme au carré de (u) + norme au carré de (v )+ norme au carré de (w).
2) Etudier la propriété réciproque.

Pouvez vous me donner des pistes svp.

Bonjour,

Il y a comme un problème d'énoncé... ou bien il manque quelque chose! En notant (u,v) le produit scalaire de u et v (et donc ||u||² = (u,u) que j'écrirai simplement u²), on a toujours:

(u+v+w)² = u² + v² + w² + 2(u,v) + 2(v,w) + 2(w,u)

Donc l'énoncé ne marche que si (u,v)+(v,w)+(w,u) = 0. Soit les vecteurs te sont donnés, et il suffit de vérifier par le calcul élémentaire. Soit ils ne le sont pas, et alors il manque quelque chose!

La "réciproque": pour que (u+v+w)² = u²+v²+w², il faut et il suffit que (u,v)+(v,w)+(w,u) = 0, ce qui donne (probablement) une condition géométrique sur les vecteurs u, v, w -- par exemple sur les angles qu'ils font.

-- françois

EDIT: pris de vitesse par rvz!

[Cyp]

Il doit juste te manquer que u, v et w sont orthogonaux (ou perpendiculaires selon le terme que tu as vu en cours) et dans ce cas ça va aller un peu mieux lol. Après il faut que tu utilises que ||u||² = u.u = u² (en vecteurs)
après tu développes ||u+v+w||²=(u+v+w).(u+v+w) et les doubles produits scalaires du genre u.v vont être nuls car les vecteurs sont orthogonaux et voilà...
++ Cyp

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f88dc9]

En effet j'ai oublié le fait que u v et w sont deux à deux orthogonaux.
Je vais reprendre le calcul et dire ce que je trouve