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produit scalaire dans l'espace



  1. #1
    sensor

    produit scalaire dans l'espace


    ------

    Bonjour.
    J'ai un peu de mal avec un exo qui semble plutôt facile dont voici l'énoncé :
    1) On suppose u, v, et w ( et u v w sont des vecteurs).
    Montrer que la norme au carré de (u+v+w) = norme au carré de (u) + norme au carré de (v )+ norme au carré de (w).
    2) Etudier la propriété réciproque.

    Pouvez vous me donner des pistes svp.

    -----

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  4. #2
    rvz

    Re : produit scalaire dans l'espace

    Citation Envoyé par sensor
    Bonjour.
    J'ai un peu de mal avec un exo qui semble plutôt facile dont voici l'énoncé :
    1) On suppose u, v, et w ( et u v w sont des vecteurs).
    Montrer que la norme au carré de (u+v+w) = norme au carré de (u) + norme au carré de (v )+ norme au carré de (w).
    2) Etudier la propriété réciproque.

    Pouvez vous me donner des pistes svp.
    Je pense que tu as du mal à le démontrer tout simplement parce que c'est faux !! Il doit y avoir des hypothèses sur u, v et w quelque part.
    Sinon, cela entrainerait, avec des vecteurs de R que pour tout x,y,z rééls,
    (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2
    Après, tu peux même prendre z=0 si il te semble encore que ça a des chances d'être vrai. Tu obtiens
    xy = 0 Pour tout x et y !!!!! Je ne crois pas...

    En gros, peut-être que tout est dans la fin de la phrase que tu as escamotée au 1)...
    __
    rvz

  5. #3
    fderwelt

    Re : produit scalaire dans l'espace

    Citation Envoyé par sensor
    Bonjour.
    J'ai un peu de mal avec un exo qui semble plutôt facile dont voici l'énoncé :
    1) On suppose u, v, et w ( et u v w sont des vecteurs).
    Montrer que la norme au carré de (u+v+w) = norme au carré de (u) + norme au carré de (v )+ norme au carré de (w).
    2) Etudier la propriété réciproque.

    Pouvez vous me donner des pistes svp.
    Bonjour,

    Il y a comme un problème d'énoncé... ou bien il manque quelque chose! En notant (u,v) le produit scalaire de u et v (et donc ||u||² = (u,u) que j'écrirai simplement u²), on a toujours:

    (u+v+w)² = u² + v² + w² + 2(u,v) + 2(v,w) + 2(w,u)

    Donc l'énoncé ne marche que si (u,v)+(v,w)+(w,u) = 0. Soit les vecteurs te sont donnés, et il suffit de vérifier par le calcul élémentaire. Soit ils ne le sont pas, et alors il manque quelque chose!

    La "réciproque": pour que (u+v+w)² = u²+v²+w², il faut et il suffit que (u,v)+(v,w)+(w,u) = 0, ce qui donne (probablement) une condition géométrique sur les vecteurs u, v, w -- par exemple sur les angles qu'ils font.

    -- françois

    EDIT: pris de vitesse par rvz!

  6. #4
    Cyp

    Re : produit scalaire dans l'espace

    Il doit juste te manquer que u, v et w sont orthogonaux (ou perpendiculaires selon le terme que tu as vu en cours) et dans ce cas ça va aller un peu mieux lol. Après il faut que tu utilises que ||u||² = u.u = u² (en vecteurs)
    après tu développes ||u+v+w||²=(u+v+w).(u+v+w) et les doubles produits scalaires du genre u.v vont être nuls car les vecteurs sont orthogonaux et voilà...
    ++ Cyp
    Physics is like sex. Sure it may have some practical results, but that's not why we do it R. Feynman

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    sensor

    Re : produit scalaire dans l'espace

    En effet j'ai oublié le fait que u v et w sont deux à deux orthogonaux.
    Je vais reprendre le calcul et dire ce que je trouve

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