Exercices 1 ère S produit scalaire dans le plan

[inviteb55a2a32]

Voici deux exercices, qui me posent problèmes.

Exercice 1:

Soit ABC un triangle.
1. Démontrer que pour tout point M: AM.BC + BM.CA + CM.AB
= 0 (ce sont des vecteurs)
2. En déduire que les hauteurs du triangle ABC sont concourantes en un point H. Bien justifier.

Exercice 2:

ABC est un triangle rectangle en A.
H est le pied de la hauteur issue de A.
I est le milieu de [AB] et J celui de [AC].

1) Montrer que HA²=HB*HC

2) Démontrer que les droites (HI) et (HJ) sont perpendiculaires. Bien justifier.

Je n'arrive pas du tout à avancer. Pourtant, j'ai bien essayé de faire les deux premières questions des deux exercices. Pour le 1) avec la relation de Chasles, différentes propriétés, et je ne trouve pas comment prouver. Pour le 2), j'ai essayé avec Pythagore, en prenant différents triangles, je ne comprend pas.
Si quelqu'un pourrait m'aider, et m'expliquer, afin que je puisse avancer, et comprendre. Merci d'avance.
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[invite7ffe9b6a]

Pour la première question il y a dans doute beacoup plus simple mais on peut faire comme ça:

On part de



On multiplie (produit scalaire) par

on a



On développe



donc



Dans la parenthèse,on remplace

-le premier par

-le second par

on obtient




On developpe et on conclu grace à

[invite07dd2471]

sinon on part de AM.BC+BM.CA+CM.AB (vecteurs)
on applique une fois chasles (en faisant AM=AB+BM) (toujours en vecteurs)
et si on se souvient que (toujours en vecteurs) DE=-ED (ça sert deux ou trois fois)
c'est déjà fini

[invite07dd2471]

et pour ton exo deux :
1) un premier triangle AHC dans lequel tu écris pythagore et tu dis que HA²=AC²-HC²
tu écris de même HA² en fonction de AB² et HB² dans un autre triangle je te laisse voir lequel.
tu additionnes les deux équations :

ça te donne 2*HA²=AC²+AB²-(HB²+HC²) (eq1)

or dans le grand triangle ABC, toujours d'après pythagore, AB²+AC²=BC²=(HB+HC)²= HB²+HC²+2*HB*HC (eq2)
donc en remplaçant HB²+HC² dans l'equation à l'aide de ce que tu as dans la deux :
2*HA²=2*HB*HC

tu simplifies par deux et c'est gagné


la question deux c'est le thm des milieux ( cas particulier de Thales si tu préfères )
tu peux dire d'après ça que (IJ) est parallèle à (BC)
or (HA) perpendiculaire à (BC)

il ne reste plus qu'à conclure

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb55a2a32]

Je voulais savoir, si pour l'exercice 2, question 2, on pouvait aussi faire en prenant un repère orthogonal (A; AC;AB). En calculant les coordonnées de ces droites, on trouve que HI.HJ (vecteurs)=0. Or si HI.HJ=0, cela veut dire qu'elles sont perpendiculaires?!

Merci pour l'explication avec pythagore.

Pour l'exercice 1, question 2. Est-ce que je peux nommer un point H l'intersection des hauteurs A et B.
Puis comme M est un point de l'espace, on peut dire que M=H, que l'on remplace dans la formule du 1). Enfin nous savons que tout est égal à 0, donc les trois produits scalaires, donc H est aussi l'intersection de la hauteur du point C. Donc elles sont bien toutes concourantes en un point?!

[invite07dd2471]

pour ta première question oui, mais ça me paraît plus compliqué, étant donné que Thales/thm des milieux est du programme de 4ème..c'est pour ça que j'avais dit ça.. après si tu préfères selon ta méthode pas de problème, un produit scalaire nul signifie des vecteurs orthogonaux donc pas de problème..

ta deuxième question pas de problème.. juste attention à la rédaction.. c'est pas vraiment M=H mais plutôt que H vérifie la propriété donnée puisqu'elle est vraie pour tout point M du plan.. mais pour le reste c'est bon, je pinaille..