Identité intégrale gaussienne simple et double

[Gipfeli]

Bonjour,

je cherche à démontrer l'identité suivante.
En définissant

et


je cherche à démontrer que
.

L'égalité se démontre facilement pour les limites et mais dans le cas général je ne trouve pas la bonne approche. Est-ce que quelqu'un aurait des idées de techniques qui pourraient fonctionner ?

Voici un calcul numérique des deux intégrales:


Merci pour votre aide !
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[Gipfeli]

Bonjour,

je continue d'essayer de démontrer l'égalité hypothétique exposée dans le message précédent, mais sans succès. J'ai essayé des techniques de changements de variable et de transformées de Fourier, mais ma technique s'arrête à peu près là. Je ne sais pas si c'est démontrable ou pas, ou si c'est juste une très bonne approximation. N'hésitez pas à me donner votre intuition pour de nouvelles pistes...
Pour les limites simples, dans le cas , la gaussienne devient une distribution de Dirac et on trouve , et pour on trouve donc l'égalité est vérifiée dans ces deux limites. Pour info, l'expression exacte pour est . J'ai entré aux moulinettes des logiciels de calcul formel, sans succès.
Est-il possible que l'égalité soit vraie mais non démontrable ?

Bon week-end

[MissJenny]

je me demande si une bonne approche ne serait pas de considérer ces intégrales, non comme (à peu près) l'espérance de 1/(1+x^2) sous la loi normale, mais plutôt l'espérance de exp(-x^2) sous la loi de Cauchy. Dans ce cas ta relation fait penser à la relation entre le variogramme et la variance.

[JJacquelin]

Les deux intégrales sont calculables analytiquement, ce qui permet de les comparer :

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

On voit la patte du spécialiste des fonctions spéciales.

[Biname]

Salut,

On voit la patte du spécialiste des fonctions spéciales.

Je vois des erreurs mais, vu ma réputation ici, j'hésite, donc erreurs sous spoiler :

 Cliquez pour afficher

En cette ligne, le dénominateur est composé d'un produit de deux éléments identiques
En remontant de 2 lignes, un + devient - et un sqrt(2) devient 2

Wolfram intègre moins bien :
Wolfram pour les deux cas :

https://www.wolframalpha.com/input?i...82%29%29%29+du

https://www.wolframalpha.com/input?i...2%2F2%29%29+du

Magie ?
Biname

[JJacquelin]

@ Biname : Salut, en effet il y a un typo dans l'intégrale en question. Merci d'avoir attiré l'attention. Mon résultat est correctement écrit. Néanmoins je vais corriger le typo dans mon texte.

[JJacquelin]

Ne pouvant pas remplacer ce qui a été posté antérieurement, voici la partie où les typos sont corrigés :

[Biname]

#8, c'est bon. L'autre erreur, c'est moi qui ne sait plus faire (sqrt(2))²

[Gipfeli]

Bonjour,

merci à tous et en particulier à JJacquelin pour sa démonstration très élégante. J'ai moi aussi fait une typo dans mon deuxième message en me mélangeant dans mes variables, la solution était correcte en remplaçant par bien sûr.

Bonne journée