Bonjour à tous,
Je suis en train de travailler sur un exo de calcul différentiel. C'est une application f : Mn(R) * R^n --> R^n, qui a (M,u) --> Mu.
L'idée, c'est de calculer l'application différentielle de f.
Par les propriétés des différentielles, on s'en sort rapidement.
On montre facilement que f est une appli multilinéaire, donc linéaire par rapport à chacune de ses 2 variables. Comme on est en dimension finie, on sait que ces applications sont continues.
Donc on a le résultat :
df(M,u).(H,k) = f(H,u) + f(M,k) (H est une matrice carrée d'ordre n, k un vecteur de R^n)
J'essaye de montrer cela par la définition d'une différentielle.
f(M+H, u+k)= (M+H) (u+k) = Mu + Hu + Mk + Hk = f(M) + Mu + Hu + Hk
L'application (u,k) --> Mu + Hu est linéaire.
Par contre, comment montrer que Hk est un petit o(H,k)?
Merci à vous
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