Appli multilinéaire et différentielle

[joq35]

Bonjour à tous,

Je suis en train de travailler sur un exo de calcul différentiel. C'est une application f : Mn(R) * R^n --> R^n, qui a (M,u) --> Mu.

L'idée, c'est de calculer l'application différentielle de f.
Par les propriétés des différentielles, on s'en sort rapidement.
On montre facilement que f est une appli multilinéaire, donc linéaire par rapport à chacune de ses 2 variables. Comme on est en dimension finie, on sait que ces applications sont continues.
Donc on a le résultat :

df(M,u).(H,k) = f(H,u) + f(M,k) (H est une matrice carrée d'ordre n, k un vecteur de R^n)

J'essaye de montrer cela par la définition d'une différentielle.

f(M+H, u+k)= (M+H) (u+k) = Mu + Hu + Mk + Hk = f(M) + Mu + Hu + Hk

L'application (u,k) --> Mu + Hu est linéaire.
Par contre, comment montrer que Hk est un petit o(H,k)?

Merci à vous
-----

[gg0]

Bonjour.

Je ne suis spécialiste de ce domaine, mais quelques remarques :
"df(M,u).(H,k) = f(H,u) + f(M,k) " peut-être finir le calcul, puisque tu connais f.
"f(M+H, u+k)= (M+H) (u+k) = Mu + Hu + Mk + Hk = f(M) + Mu + Hu + Hk" ??? Il n'y a pas de f(M). Et tu cherches df(M,u).(H,k).

"comment montrer que Hk est un petit o(H,k)?" À priori, c'est faux, tu as oublié ce que tu fais.. Mais si tu te places dans les conditions d'application de la définition de la différentielle, tu comprendras mieux. D'ailleurs ta phrase "L'application (u,k) --> Mu + Hu est linéaire. " montre que tu mélanges le point en lequel tu veux différencier et les variables du calcul de la différentielle.

Donc reprends en étant plus clair sur ce que tu veux calculer.

Cordialement.

[joq35]

Bonsoir,

Je reprends, j'ai été un peu vite.
Je souhaite calculer la différentiel de f au point (M,u) avec M une matrice carrée d'ordre n, u un vecteur de R^n.

Soient (H,k) appartenant Mn(R) * R^n

Comme f est une application multilinéaire continue, alors
df((M,u)).(H,k) = f(H,u) + f(M,k) = Hu + Mk

Montrons le via la définition d'une différentielle.
f((M,u) + (H,k)) = f((M+H,u+k)) = (M+H)(u+k) = Mu + Hu + Mk + Hk = f ((M,u)) + Hu + Mk + Hk

L'application (H,k) --> Hu + Mk est clairement linéaire.
Cela parait cohérent plus non ?

[gg0]

Effectivement, et tu retrouves ton calcul direct.
Enfin, dans le calcul, les H et k sont des éléments différentiels d'ordre 1, donc Hk est d'ordre 2.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]