Topologie : Définition d'un point d'accumulation

[iPhysics]

Bien le bonjour à tous,

En préparant un cours à donner sur la topologie des réelles, je suis tombé sur cette définition d'un point d'accumulation d'un ensemble :

Point tel que tout voisinage autour de ce point contient une infinité de points de l'ensemble .

En bas de page, il est indiqué qu'il est aisé de prouver que pour que soit un point d’accumulation de , il faut et il suffit que tout
voisinage de contienne un point de distinct de .

Ne manque-t-il pas de spécifier la nature des ensembles ? Car, si on prend à tout hasard une droite , on a que (l'ensemble dérivé est la droite elle-même), et pourtant en prenant n'importe quel point , on a que les voisinages ne contiennent que 2 points distincts de appartenant à .

Les formulations ne sont donc pas équivalentes pour tout type d'ensemble topologique, puisqu'ici nous ne satisfaisons clairement pas la première condition. Si quelqu'un pouvait m'éclairer de la "vérité mathématique" avant que je ne m'achète un bouquin de la topologie pour les nuls, je lui en serais reconnaissant.

Belle journée à tous et merci d'avance !
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[MissJenny]

pourquoi dis-tu qu'un voisinage d'un point d'une droite de R^2 ne contient que 2 points de ladite droite? (ou même 3)

[Deedee81]

Salut,

EDIT croisement avec MissJenny et on dit la même chose, ce qui me rassure

on a que les voisinages ne contiennent que 2 points distincts de appartenant à .

Là je ne comprend pas ça. Si tu prend un point x de la droite, pour tout voisinage, il y a une infinité de points de d appartenant au voisinage (le voisinage ce n'est pas que sa frontière)

[iPhysics]

Au temps pour moi, j'ai oublié de préciser ma question, je parle du cas où on a un voisinage infiniment petit... Dans ce cas limite, n'aurait-on pas juste deux points ? (Je débute en topologie)

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

EDIT croisement avec MissJenny et on dit la même chose, ce qui me rassure

tu as tort d'être rassuré parce que j'écris beaucoup de bêtises... ici et ailleurs hélas... quoiqu'ici je ne pense pas.

[MissJenny]

Au temps pour moi, j'ai oublié de préciser ma question, je parle du cas où on a un voisinage infiniment petit... Dans ce cas limite, n'aurait-on pas juste deux points ? (Je débute en topologie)

parler d'infiniment petit ça passe en physique mais en maths c'est assez mal vu.

edit : et encore en physique on dit "petit" mais pas infiniment (il me semble..)

[iPhysics]

J'ai le sentiment qu'en physique comme en maths, le mot "infiniment" sert beaucoup à vulgariser des notions (bien sûr, cela dépend où on place le curseur entre rigeur et vulgarisation). Ce que j'entends par "infiniment petit", c'est que pour un voisinage autour d'un point a défini par , on prendrait le cas limite où tend vers 0.

[Deedee81]

parler d'infiniment petit ça passe en physique mais en maths c'est assez mal vu.
edit : et encore en physique on dit "petit" mais pas infiniment (il me semble..)

On peut parfois..... mais pas pour un voisinage. Un voisinage est toujours "fini".
C'est d'ailleurs toute la beauté de construire (par exemple) une topologie avec les voisinages

EDIT décidément, croisement. La définition (pour R²) est acceptable mais la limite delta tend vers 0 n'est plus un voisinage.

[gg0]

Bonjour IPhysics.

Le cas limite, quand delta tend vers 0 est {x} qui n'est pas un voisinage de x (il ne contient pas un ouvert contenant x) pour la topologie habituelle.
Je me demande aussi pourquoi tu parlais de 2 points (si >0 il y en a une infinité).

Cordialement.

[iPhysics]

D'accord ! Ce qui me dérangeait venait donc de la définition même d'un voisinage. Si cette limite n'est alors plus un voisinage, tout paraît alors cohérent ! Merci beaucoup.

[Deedee81]

Salut,

Toujours bien vérifier la signification des termes

Note qu'il restait une incohérence (c'est bizarre mais je la vois seulement maintenant), même dans le cas delta = 0, il n'y a pas deux points mais.... un seul. Ca change rien note, mais je préférais le signaler.