Matrice ( Théorie des corps )
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Matrice ( Théorie des corps )



  1. #1
    Anonyme007

    Matrice ( Théorie des corps )


    ------

    Bonsoir à tous,

    Soit une extension galoisienne de degré .
    Soit qui est un ensemble fini.
    J’ai lu sans démonstration que le morphisme, est un isomorphisme.

    Pouvez vous me dire,

    - Comment est construit ?
    - Quelle est la matrice associée à ?
    - Pourquoi est un isomorphisme ?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Un peu d'aide s'il vous plaît. Je suis bloqué. Merci.

  3. #3
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    ,
    , ?

    Ou bien,

    ,
    , ?

    Lequel est correct ?

  4. #4
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Quelle est la matrice associée à ?
    Puisque, , on suppose alors que, est une base du - espace vectoriel .
    La matrice associée à est définie par les colonnes, .
    Soit, une base du - espace vectoriel .
    Et puisque, , , alors, la matrice associée à est .

    Pourquoi ?

    Pourquoi est un isomorphisme ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Bonsoir,
    Il suffit d'écrire qu'une extension de degré de est isomorphe à est unitaire de degré et irréductible sur . Alors s'identifie à l'ensemble des racines de dans , et est isomorphe à . L'isomorphisme envoie la classe de sur

  7. #6
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Très joli ce que tu écris GBZM. Merci.
    Moi j’ai raconté n'importe quoi.

  8. #7
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    GBZM,

    Est ce que est un isomorphisme de - algèbres, ou bien simplement un isomorphisme d'anneaux ? Pourquoi ?

    Merci d'avance.

  9. #8
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    et est isomorphe à
    Pour montrer que est isomorphe à , il suffit d’appliquer le lemme des restes chinois.

    En effet,

  10. #9
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Bonsoir GBZM,

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Alors s'identifie à l'ensemble des racines de dans
    Peux tu m'expliquer en détail GBZM, pourquoi, ?

    Merci infiniment pour ton aide.

  11. #10
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    On a,



    .
    D'où,
    .
    Est ce que c'est correct ?

    Merci d'avance.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 21/01/2024 à 02h21.

  12. #11
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Je corrige un tout petit passage,






    .

    CQFD.

  13. #12
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Reviens sur terre au lieu de t'égarer dans des notations que tu ne maitrises pas (tu as écrit des bêtises, le spectre du corps est réduit à un point).
    Se donner un morphisme de -algèbres de dans , c'est se donner l'image de (la classe de) qui et une racine de dans .

  14. #13
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    tu as écrit des bêtises, le spectre du corps est réduit à un point
    Merci pour cet éclairage GBZM.
    Je n’arrive pas à comprendre pourquoi le spectre du corps est réduit à un point.
    Le spectre du corps réduit à un point, je peux le comprendre ( Parce qu'il est algébriquement clos )
    Par contre, le spectre d'une extension de ( Un corps de nombre ), n'est pas algébriquement clos. C'est une variété algébrique de dimension , réunion fini de points. N'est ce pas ?
    Tu l'as dit toi meme : et de degré , est ce que donc, le spectre de est réduit à un point ? Je ne le pense pas. Donc, le spectre du corps n'est pas réduit à un point à mon avis.
    Bref, peux tu m'expliquer où se situe exactement mon erreur ?

    Merci d'avance.

  15. #14
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Quels sont les idéaux premiers d'un corps ?

  16. #15
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Quels sont les idéaux premiers d'un corps ?
    Les idéaux premiers d'un corps sont seul. ( Je sous-entends, un corps ''absolu'' )
    Mais n'est pas un corps absolu pour parler de son spectre d'idéaux premiers réduit à un seul idéal , c'est une extension de corps, c'est à dire, un corps relatif qui est à valeurs dans une base ... Donc, le spectre de est un spectre relatif, donc, contient plusieurs idéaux maximaux. C'est à dire,un - schéma fini, dont la fibre ( l'unique fibre d’ailleurs ) est formée d'un nombre fini de points. ( i.e, formée d'un nombre fini d'idéaux maximaux ).
    Peux tu me corriger GBZM, s'il te plaît ?

    Merci d'avance.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 21/01/2024 à 15h58.

  17. #16
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Cette histoire de "corps absolu" et de "corps relatif" n'a aucun sens. Le spectre d'un corps est toujours réduit à un point.

  18. #17
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Le spectre d'une extension de corps est un revêtement. C'est un spectre relatif.
    Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_Spec ( Regarde surtout le paragraphe intitulé, Global or relative )
    Donc, le spectre d'une extension de corps n'est pas réduit à un point.

  19. #18
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Tu mélanges tout, et la bouillie que tu fais n'a pas de sens, je le répète.
    Par exemple :
    Donc, le spectre de est un spectre relatif, donc, contient plusieurs idéaux maximaux. C'est à dire,un - schéma fini,
    Le spectre d'une extension finie de n'est certainement pas un -schéma fini ! C'est du n'importe quoi !
    , et sont tous les trois des spectres de corpŝ et, du point de vue topologique, tous les trois réduits à un point. Ce qui se passe c'est que le produit fibré dans la catégorie des schéma n'est, lui, pas réduit à un point du point de vue topologique, mais a un nombre fini de points correspondant aux racines de dans .

  20. #19
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Voilà. Merci. J’ai compris maintenant où se trouve le hic.
    Même, est un spectre relatif. C'est un revêtement de base .
    Le produit fibré est un objet de la catégorie relative . C'est un morphisme relatif, et, est donc, un - schéma fini. N'est ce pas ?

  21. #20
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    GBZM,

    Regarde ici, https://math.berkeley.edu/~dcorwin/files/etale.pdf , page, 19.
    On note, un revêtement, dans le cas où est une extension séparable de .
    Donc, n'est pas réduit à un point.
    Bref, le spectre de , extension de n'est pas réduit à un point.
    Ce qui est contraire à ce que tu affirmais depuis le début de ce fil. N'est ce pas ?

  22. #21
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Tu comprends de travers le document que tu cites, et tu n'arrêtes pas d'écrire des bêtises.
    Ligne 9 du bas de la page 19 de ce document :
    consists of only a point, since has only one prime ideal

  23. #22
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Moi, je ne te parle pas de . Je te parle de .

  24. #23
    MissJenny

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    d'une manière générale les corps n'ont pas beaucoup d'idéaux. Il y a bien les idéaux fractionnaires mais ça n'a d'intérêt que si tu considères un sous-anneau or tu parles d'une extension de corps.

  25. #24
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Et a plus d'un idéal premier ? Bien sûr que non !
    Revenons à la situation de départ. et ont tous les deux un seul point. Ce qui fait que est un revêtement est que est une -algèbre finie étale, en fait une extension séparable finie (forcément séparable puisqu'on est en caractéristique 0).

    Bon, je ne vais pas perdre plus de temps à essayer de te faire comprendre les choses puisque tu t'obstines dans tes erreurs. Si tu continues d'écrire des âneries, je mettrai juste "ânerie".
    Tu as eu la réponse à ta question, basta !

  26. #25
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Et a plus d'un idéal premier ? Bien sûr que non !
    Oui, a plus d'un idéal premier. Parce que c'est un spectre relatif, et non un spectre global. C'est une application directe du théorème de going-up, going-down. Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Going_up_and_going_down .
    Citation Envoyé par GBZM
    et ont tous les deux un seul point.
    Non. a un seul point, d’accord, parce que c'est un spectre global, mais, a plusieurs points, parce que c'est un spectre relatif.
    Citation Envoyé par GBZM
    Ce qui fait que est un revêtement est que est une -algèbre finie étale, en fait une extension séparable finie (forcément séparable puisqu'on est en caractéristique 0).
    Oui, parce que, le revêtement est ramifié.
    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Et a plus d'un idéal premier ? Bien sûr que non !
    Si a un unique idéal premier, alors, est un revêtement non ramifié.

  27. #26
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Âneries, même âneries2

  28. #27
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Âneries, même âneries2
    Pourquoi ânerie ?
    Tu ne voudrais pas reconnaitre tes défauts. C’est tout.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 22/01/2024 à 17h38.

  29. #28
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Oui, a plus d'un idéal premier.
    Un corps qui a plus d'un idéal premier : il faut la faire, celle-là !
    Et l'invocation des théorèmes de montée et de descente de Cohen-Seidenberg pour faire savant et tenter de justifier cette stupîdité !
    Tu te ridiculises complètement.

  30. #29
    Anonyme007

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Tu te ridiculises complètement.
    Il faut apporter des preuves si tu cherches à montrer que j’ai tort.
    Montre moi alors que ce que je dis est faux.

  31. #30
    GBZM

    Re : Matrice ( Théorie des corps )

    Montrons qu'un corps a un seul idéal premier : l'idéal .
    Soit un idéal de différent de . Alors contient un élément non nul , donc il contient aussi , et donc il n'est pas premier.

    Ceci montre bien que tu écris d'énormes bêtises.

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