Probabilités

[Magnetika]

Bonjour,

Je réfléchissais sur un petit problème en apparence simple de probabilités.

On a 10 boules numérotée de 1 à 10 dans une urne. On tire une boule, on note le numéro et on remet la boule dans l'urne. On effectue 10 tirages. Quelle est la probabilité que la boule 1, 2 et 3 ne sortent pas ET uniquement elles ?

C'est en fait la 2ème condition qui pose problème.

Par exemple : 4,4,4,5,5,5,6,6,6,7 , les boules 1,2 et 3 ne sont pas sorties mais elles ne sont pas uniques puisque 8,9,10 également.

En d'autres termes, cela revient à dire : quelle est la probabilité que 7 boules sortent EXACTEMENT ?

J'ai lancé un test informatique et le résultat semble tendre vers 1/e

A noter que ce résultat est aussi le résultat du même exo généralisé : on a n boules dans l'urne et on effectue n tirages, combien de boules, en moyenne, ne sortent pas si n tend vers l'infini, qui vaut donc 1/e et qui est facile à prouver.

Bref, je ne trouve pas de méthode pour l'exo de base. Soit il faut dissocier les cas et ils sont trop nombreux, soit il faut retirer les cas qui posent problème et là encore c'est problématique.

Une idée peut-être ?
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[Biname]

Annulé, encore mal lu

[Magnetika]

Petite correction concernant le test informatique : cela tend vers 1/e pour exactement 3 boules (non définies)

Et donc là je cherche déjà à trouver pour 3 boules spécifiques

[Biname]

Salut,
L'ordre importe peu ! Pour simplifier les notations, 8,9,10 sont exclus
P = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 permutés * arrangements (3, 7) / 10^10
P = Perm(7) * Arr(3, 7) / 10^10

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

Bonjour,
Une formule correcte s'obtient ainsi :
On divise le nombre de surjections d'un ensemble à éléments (les tirages) sur l'ensemble par le nombre total d'applications d'un ensemble à éléments dans . Le calcul du nombre de surjections d'un ensemble à éléments sur un ensemble à éléments est un classique que l'on trouve partout.
Ce n'est pas la formule de Biname.

[MissJenny]

L'ordre importe peu !

l'ordre ne compte pas mais dans un cas comme celui-ci c'est plus facile d'énumérer les tirages avec leur ordre.

[Magnetika]

Salut Biname,

L'ordre ne compte pas mais tu fais un arrangement ?

Je ne comprends pas ton raisonnement.

En utilisant ta réponse et en généralisant à n'importe quel triplé (en multipliant donc par une combinaison de 3 parmi 10), je ne trouve pas (du tout) la réponse de ma simulation

Sauf mauvaise interprétation ou erreur(s) de ma part

[Magnetika]

Bonjour,
Une formule correcte s'obtient ainsi :
On divise le nombre de surjections d'un ensemble à éléments (les tirages) sur l'ensemble par le nombre total d'applications d'un ensemble à éléments dans . Le calcul du nombre de surjections d'un ensemble à éléments sur un ensemble à éléments est un classique que l'on trouve partout.
Ce n'est pas la formule de Biname.

Intéressant, je comprends l'idée mais faut que je me replonge là dedans. Merci.

[Biname]

Salut Biname,
L'ordre ne compte pas mais tu fais un arrangement ?
Je ne comprends pas ton raisonnement.
En utilisant ta réponse et en généralisant à n'importe quel triplé (en multipliant donc par une combinaison de 3 parmi 10), je ne trouve pas (du tout) la réponse de ma simulation
Sauf mauvaise interprétation ou erreur(s) de ma part

Ma réponse est fausse, GBZM donne très probablement la bonne solution.

Biname

[Biname]

Salut,
GBZM donne la bonne solution :

Nombre de tirages favorables parmi           100000 :       295      P = 0.00295000
Nombre de surjections(10, 7) parmi  10000000000 cas :  29635200      P = 0.00296352

Codes python :

 Cliquez pour afficher

# Simulation
import random

def tirage_all_0123456_and_none_789():
    tirages = [random.randint(0, 9) for _ in range(10)]

    return all(num in tirages for num in range(7)) and not any(num in tirages for num in range(7,10))
 
nombre_de_tirages = 100000 #00      # 100000  ~1s

compteur_cas_favorables = sum(tirage_all_0123456_and_none_789() for _ in range(nombre_de_tirages))
print(f"\nNombre de tirages favorables parmi     {nombre_de_tirages:>12} : {compteur_cas_favorables:>9}      P = {compteur_cas_favorables/nombre_de_tirages:>.8f}")



# Surjections
from sympy import factorial

def surjections_count(n, p):
    result = 0
    for k in range(p + 1):
        coefficient = ((-1) ** k) * factorial(p) / (factorial(k) * factorial(p - k))
        result += coefficient * ((p - k) ** n)
    return result

n=10
p=7
result = surjections_count(n, p)
print (f"Nombre de surjections({n}, {p}) parmi {n**n:>12} cas : {int(result):>9}      P = {float(result/n**n):>.8f}")