Morphisme de groupes

[EttoreElMagnifico]

Bonjour,

Petite question concernant la définition axiomatique d'un morphisme (je la remets en pièce jointe pour qu'on soit bien d'accord).

Dans une question (jointe également), on cherche à trouver un contre exemple (que j'ai du mal à trouver.. si ce n'est de prendre n'importe quelle application non bijective) à ce qui semble être une conséquence de la définition axiomatique du morphisme entre deux groupes (ou "homorphisme de groupe" ou "morphisme de magmas" si j'ai bien compris..), je suis donc peiné à vouloir chercher ce contre exemple si c'est pour être en contradiction avec une propriété qui découle directement de la définition axiomatique d'un morphisme de groupe !

Merci pour vos éclaircissements ..

Bien à vous.

Ettorre

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[gg0]

Attention, un morphisme de groupes nécessite d'avoir déjà deux groupes. Donc ce n'est pas simplement un morphisme de magmas. Une conséquence du fait que ce sont des groupes est le fait que l'image de l'élément neutre du groupe de départ est l'élément neutre du groupe d'arrivée.
L'exercice ne te demande pas un contre exemple à un théorème de cours, mais de montrer qu'il vaut mieux avoir des groupes (enfin, au moins un, il suffit de regarder la preuve du théorème pour voir ce qui est utilisé). Les structures proposées ne définissent pas des groupes.

Cordialement.

[EttoreElMagnifico]

Bonsoir et merci pour votre réponse,

Je ne prétends en rien être un spécialiste des mathématiques et encore moins de la théorie des groupes (qui est fascinante cependant, et que j'explore progressivement), cependant :

J'ai utilisé plusieurs terminologies pour qualifier la notion de morphismes, dont celle de "morphisme de groupes" entre autre, avec un article joint, et malgré tout cela crée un quiproquo.. c'est quand même étonnant mais soit !

Dans l'énoncé, il est question effectivement "d'ensembles" et non pas d'un objet mathématique spécifique (il faut cependant qu'ils soient munis d'une loi interne ainsi qu'un élément neutre malgré tout, donc c'est.. la définition d'un groupe ..). Or, selon vous, la moralité de la question 1 serait de trouver un ou plusieurs contre-exemple(s) qui ne pourraient être que des ensembles qui ne seraient pas des groupes. C'est un serpent qui se mord la queue.

Un groupe est par définition un ensemble muni d'un élément neutre et d'une loi interne. Et l'énoncé explicite bien qu'il FAUT une loi interne et un élément neutre.

Soyez donc explicite ou bien je ne comprends pas trop l'intérêt d'échanger par écrit sur un forum.

Pouvez vous proposer un contre exemple à la question ? Je ne vois que personnellement le choix de deux ensembles quelconques qu'on relierait par une application quelconque (linéaire ou autre), vérifiant que si on fait fait l'image de l'élément neutre de l'ensemble de départ, alors cela ne donne pas l'élément neutre de l'espace d'arrivée, tout en ayant comme condition l'écriture d'une application de morphisme de groupe (soit : f(x*y) = f(x)°f(y)).

Salutation,

Ettore.

[Resartus]

Bonjour,
Les mots ont un sens précis en mathématiques : Il faut 3 propriétés pour qu'un ensemble avec une opération interne ait une structure de groupe :

1) l'opération doit être associative
2) il doit exister un element neutre qui marche à droite et à gauche
3) Chaque element doit avoir un inverse

Dès qu'une de ces propriétés n'est plus vérifiée, on n'a plus un groupe.

L'exemple le plus simple de structure avec une opération interne qui a un élément neutre mais qui n'est pas un groupe : l'ensemble 0,1, avec la loi 0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=1.
0 est l'élement neutre Et le morphisme qui envoie tous les élements d'un groupe quelconque de départ vers 1 est un bon contre exemple

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ettore ..

"Soyez donc explicite "
Je l'ai été. Mais comme tu ne connais pas le sens des mots que tu emploies, tu ne comprends pas. Pourtant c'est toi qui as commencé à parler de groupe, donc j'étais fondé à penser que tu savais la signification du mot. Apparemment, ce n'était pas le cas, donc désolé que ça n'aie pas été compris. Maintenant, revois un texte de définition de la structure de groupe (Définition : ... est un groupe si ...) et tu verras que j'étais précis.

Un autre exemple de structure qui n'est pas de groupe (N,+) où N est l'ensemble des entiers positifs et + l'addition des nombres; autre exemple : (N,*).

Cordialement.