Bonjour, on fournit souvent en physique ou en chimie la formule suivante pour calculer l'incertitude relative sur un résultat expérimental :
Si
alors,
Comment justifier cette expression en traitant le problème avec des variables aléatoires réelles indépendantes ?
Par exemple, pour l'incertitude sur une somme :
si
alors on peut montrer,
et donc :
Est il possible de démonter (1) d'une façon similaire ?
Bonjour.
En général, pour les sommes, on n'utilise pas la formule que tu donnes, mais
S'il s'agit d'incertitudes (*) cette formule est exacte.
Pour un produit, on a une formule exacte mais qui devient compliquée quand il y a de nombreux termes. Cependant, pour des incertitudes faibles par rapport aux valeurs estimées, la formule (1) est une bonne approximation. Voyons le cas de deux valeurs x et y, supposées suffisamment positives pour que les intervalles de valeurs soient dans R+ :
On a, en notant x la valeur mesurée et x0 la valeur réelle
Par multiplication membre à membre (tout est positif) :
Si les incertitudes sont très faibles devant x et y, on peut négliger leet on a
Donc
En divisant par xy tu obtiens ta formule.
Cordialement.
(*) dire
Bonjour,
Gérard a répondu pour ce qui est de l'incertitude, qui donne un encadrement de la quantité que l'on cherche à calculer.
C'est à distinguer de la variance ou de l'écart type sur une variable aléatoire. En ce qui concerne la variance d'un produit de deux variables aléatoires indépendantes, on a
J'ai bien sûr fait une coquille dans la formule, il faut lire
La suite est correcte.
Et donc, avec toutes les pincettes nécessaires, on aboutit à
Cette dernière formule est un cas particulier de la formule de "propagation des incertitudes" de Laplace-Gauss qui s'écrit, pour deux variables indépendantes
En particulier
Une petite simulation : on tire
Le code python :
Un essai :Code:import random as rd import math def test(n,mx,stdx,my,stdy) : Sx=0 ; Sy=0 ; Sxy=0 Sx2=0 ; Sy2=0 ; Sx2y2=0 for _ in range(n) : x = rd.gauss(mx,stdx) ; x2 = x*x y = rd.gauss(my,stdy) ; y2 = y*y Sx += x ; Sy += y ; Sxy += x*y Sx2 += x2 ; Sy2 += y2 ; Sx2y2 += x2*y2 Mx = Sx/n ; My = Sy/n ; Mxy = Sxy/n Stdx = math.sqrt((Sx2-Sx*Sx/n)/(n-1)) Stdy = math.sqrt((Sy2-Sy*Sy/n)/(n-1)) Stdxy = math.sqrt((Sx2y2-Sxy*Sxy/n)/(n-1)) print("moyenne de x : Mx = {:.3f} ; écart-type de x : Stdx = {:.3f}"\ .format(Mx,Stdx)) print("moyenne de y : My = {:.3f} ; écart-type de y : STdy = {:.3f}"\ .format(My,Stdy)) print("moyenne de x*y : Mxy = {:.3f} ; écart-type de x*y : Stdxy = {:.3f}"\ .format(Mxy,Stdxy)) print("My*Stdx + Mx*Stdy = {:.3f}".format(My*Stdx+Mx*Stdy)) print("sqrt(My^2*Stdx^2 + Mx^2*Stdy^2) = {:.3f}".\ format(math.sqrt(My**2*Stdx**2+Mx**2*Stdy**2)))
Le résultat :Code:test(1000,4,0.02,1,0.02)
moyenne de x : Mx = 4.000 ; écart-type de x : Stdx = 0.020
moyenne de y : My = 0.999 ; écart-type de y : STdy = 0.019
moyenne de x*y : Mxy = 3.997 ; écart-type de x*y : Stdxy = 0.079
My*Stdx + Mx*Stdy = 0.097
sqrt(My^2*Stdx^2 + Mx^2*Stdy^2) = 0.079
Le résultat de la simulation est clair ! Il valide bien la formule de Laplace-Gauss.
Merci beaucoup pour toutes ces explications.
Celles de GBZM correspondaient à ce que je recherchais, bien que la formle que je proposais ne corresponde pas à une approche probabiliste comme l'a souligné gg0.
Mais que désigne le terme incertitude au final ? Est ce l'apporche probabliste / statistique, ou l'approche de gg0 qui elle n'a rien d'aléatoire ?
D'après cet extrait de cours de secondaire, les incertitudes corresponderaient à l'approche de gg0.
Ces deux documents (1, 2) se rejoignent sur l'approche probabiliste, et c'est le cas de la plupart des document que j'ai pu lire.
Peut être existe-il deux termes précis pour les différencier ?
Bonjour,
L'extrait de cours que vous mettez en lien correspond effectivement à l'incertitude absolue et il n'y a rien de probabiliste dans le calcul de la propagation de ces incertitudes. On y a
L'approche probabiliste consiste à calculer l'écart-type d'une quantité composée à partir de variables indépendantes. On y a
(la deuxième formule est approchée, avec l'hypothèse que les "écarts-types relatifs" sont petits).
Bonjour Billy 1816.
Dans les mesures physiques, chimiques, techniques en général, on apprécie d'avoir des incertitudes absolues. Mais ce n'est pas toujours possible. Souvent on sera amené à le remplacer par un intervalle de confiance statistique, obtenu par répétition de mesures. Avec l'inconvénient que les calculs ultérieurs font "perdre de la confiance" si on ne peut assurer que les variables sont indépendantes.
Cordialement.
La méthode de l'écart type a t-elle un sens donc, lorsqu'on effectue une seule mesure ? Puisqu'on ne connait pas la loi de probabilité qu'il faudrait associer ? On définit souvent les écarts types en multipliant les tolérances par
Si vous avez une tolérance
Merci pour votre aide, c'est beaucoup plus clair maintenant.
Il resterait un dernier point à éclaircir : une fois l'écart type obtenu, comment trouver la probabilité que la variable soit dans l'intervalle
Attention, tu soustrais des nombre d'unités différentes. par exemple, si X est une variable en mètres sa moyenne est en mètres et sa variance en m².
On peut alors penser à l'intervalle classique [E(X)-sigma,E(X)+sigma]. Si X est une variable quelconque, on ne sait rien (L'inégalité de Bienaymé-Tchebbichev dit que la proba est inférieur à 1, ce qui est une évidence). Si X suit une loi connue, on peut donner une valeur. Par exemple 68% pour une variable gaussienne, 0,58 pour une loi uniforme continue, etc.
Cordialement.
Merci
Oui pardon c'est de l'écart type dont il était question. Pourriez vous expliquer comment vous avez obtenu ces valeurs ?
La première est un classique. La deuxième un calcul facile puisque on t'a donné l'écart type.
D'accord merci je ne voyais juste pas comment arriver au résultat mais c'est juste des calcul d'intégrales j'ai fini par trouver. Pour la loi uniforme la valeur
Cette probabilité est d'ailleurs relativement basse, on en pas forcément conscience lors du calcul d'incertitude, bien que cette information me semble importante.
