Alors voila :
On a un groupe cyclique à n éléments, qui s'écrit donc G = { 0 ; x ; x^2 ; ... ; x^(n-1) }
et j'ai un peu du mal à déterminer le cardinal du groupe engendré par x^k, où k appartient à Z (il semblerait que lorsque pgcd(k,n)=1, on a Card(<x^k>)=n). Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer ?...
Si G est cyclique d'ordre n, G est isomorphe à Z/nZ (l'isomorphisme se construit facilement à la main), donc il suffit de réfléchir à la question posée dans le cas G=Z/nZ.
Prends par exemple, n=6, k=3 pour voir ce qui se passe...
Un petit théorème de Lagrange, un peu de réflexion (comment s'écrivent les éléments de ton groupe engendré ?) et c'est gagné
A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
Ah ok mais je savais pas que ces groupes étaient isomorphes à Z/nZ (je passe en 2eme année) ; et puis qu'est-ce que dit le théorème de Lagrange ?
Il y a trois formulations pour le théorème de Lagrange:
Soit G un groupe fini de cardinal n.
1) Si H est un sous-groupe de G, alors H est fini et son cardinal divise n.
2) Soit aG. L'ordre de a divise n.
3) Soit a
Ah ok ; je connaissais ces propriétés mais je savais pas que
c'était le théorème de Lagrange ...
Pas besoin de le savoir, il suffit de le constater : essaye de construire l'isomorphisme à la main, c'est instructif.Envoyé par Coco Beach
