Alors voila :
On a un groupe cyclique à n éléments, qui s'écrit donc G = { 0 ; x ; x^2 ; ... ; x^(n-1) }
et j'ai un peu du mal à déterminer le cardinal du groupe engendré par x^k, où k appartient à Z (il semblerait que lorsque pgcd(k,n)=1, on a Card(<x^k>)=n). Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer ?...
Si G est cyclique d'ordre n, G est isomorphe à Z/nZ (l'isomorphisme se construit facilement à la main), donc il suffit de réfléchir à la question posée dans le cas G=Z/nZ.
Prends par exemple, n=6, k=3 pour voir ce qui se passe...
Un petit théorème de Lagrange, un peu de réflexion (comment s'écrivent les éléments de ton groupe engendré ?) et c'est gagné
Ah ok mais je savais pas que ces groupes étaient isomorphes à Z/nZ (je passe en 2eme année) ; et puis qu'est-ce que dit le théorème de Lagrange ?
Il y a trois formulations pour le théorème de Lagrange:
Soit G un groupe fini de cardinal n.
1) Si H est un sous-groupe de G, alors H est fini et son cardinal divise n.
2) Soit aG. L'ordre de a divise n.
3) Soit a
Ah ok ; je connaissais ces propriétés mais je savais pas que
c'était le théorème de Lagrange ...
Pas besoin de le savoir, il suffit de le constater : essaye de construire l'isomorphisme à la main, c'est instructif.Envoyé par Coco Beach
