Conjecture difficile à comprendre en probabilité.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Pouvez vous s'il vous plaît, m'expliquer la conjecture qui figure sur le lien suivant : https://en.wikipedia.org/wiki/Ibragi...xing_sequences
Qu'est ce que ? Quel est son rôle et son lien avec la suite ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Tout est dit dans ce que tu cites.

[MissJenny]

est-ce que tu sais ce qu'est un processus phi-mélangeant?

[Anonyme007]

Bonsoir à vous deux,

Non, c'est la première fois que je rencontre cette notion de - mélangeant. Je n'arrive pas à faire le lien entre le début de l’énoncé et la notion de - mélangeant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Ici, http://jeanalain.monfort.free.fr/Dic...melangeant.pdf , on explique bien la notion de - mélangeant:

[Anonyme007]

Connaissez vous l'histoire de cette conjecture et son importance en mathématiques ?
Merci d'avance.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Je commence à me familiariser un peu avec les outils de cette conjecture.
Cette conjecture est une version faible du théorème centrale limite, à mon avis.
Le théorème centrale limite suppose à priori que les éléments de la suite aléatoire soient indépendants, alors que, pour cette conjecture, on exige que la suite soit - mélangeant, c'est à dire, que les éléments de la suite ne sont pas supposés indépendants, mais ''asymptotiquement'' indépendants si je peux me permettre d'utiliser cette expression, parce que, lorsque, tend vers , les probabilités conditionnelles de tous les événements ne sont pas égales aux probabilités de ces événements ( i.e, ), mais presque ( i.e, ).

Voici mon plan d'attaque à cette conjecture,
Il suffit de relier la définition de - mélangeant, à la définition d'espérance et espérance conditionnelle, pour qu'ensuite pouvoir utiliser les fonctions caractéristiques qui s’expriment en termes d'espérances et de moments, qui nous servira à mimer la démonstration du théorème centrale limite, et enfin conclure la validité de la conjecture.

Voici aussi comment je relie la notion de - mélangeant, et la notion d'espérance et espérance conditionnelle :
est -mélangeant si et seulement si .
Puisque, , alors, est -mélangeant si et seulement si .
Je conjecture donc que, sera utilisé pour faire une suite de majoration de la fonction caractéristique de qui, lorsque tend vers , la fonction caractéristique de tendra vers la fonction caractéristique de la loi normale centré réduite qui est , ce qui achève la démonstration de la conjecture.

Qu'est ce que vous en pensez ?

Cordialement.

[MissJenny]

Qu'est ce que vous en pensez ?

c'est un peu vague. Je pense qu'il faudra d'autres idées pour démontrer cette conjecture d'Ibraguimov. Et je ne comprends pas ce que tu entends par "majorer les fonctions caractéristiques" (dont le module est toujours plus petit que 1, je le rappelle).

du temps où j'essayais de comprendre les probabilités en profondeur, on m'avait conseillé la lecture du livre de Shorack & Wellner (Empirical processes). C'était trop difficile pour moi mais je pense qu'il pourrait t'aider.

[Anonyme007]

du temps où j'essayais de comprendre les probabilités en profondeur, on m'avait conseillé la lecture du livre de Shorack & Wellner (Empirical processes). C'était trop difficile pour moi mais je pense qu'il pourrait t'aider.

Merci pour le titre de référence que tu me proposes. Je pense que ce livre est disponible gratuitement ici : https://epubs.siam.org/doi/10.1137/1.9780898719017

Je pense qu'il faudra d'autres idées pour démontrer cette conjecture d'Ibraguimov

D'accord. Si je ne note, , la densité de probabilité de la variable aléatoire, , alors, la fonction caractéristique de est, par définition,
, pour tout, .
Alors, pour résoudre cette conjecture, il faut définir une autre notion de fonction caractéristique, que j’appellerai, fonction caractéristique conditionnelle, définie comme suit,
Si je ne note, , la densité de probabilité conditionnelle sachant , de la variable aléatoire, , alors, la fonction caractéristique de sachant , est, par définition,
, pour tout, ,
où, est la densité de probabilité conditionnelle de sachant , et est la densité marginale de .
Ensuite, montrer que, est, - mélangeant, si et seulement si, , si et seulement si, , où, ( resp. ) est la fonction caractéristique conditionnelle ( resp. la fonction caractéristique ) de .
En supposant que, , je pense qu'il ne reste pas beaucoup de trajets pour montrer que, la fonction caractéristique de tend vers la fonction caractéristique de la loi normale,, et en conclue le résultat de la conjecture d4Ibraguimov Lucifescu. N'est ce pas ?

Cordialement.

[Anonyme007]

A la fin, on sera amené a établir que,


,
puisque, .
Donc, il faut réfléchir pourquoi, .
Enfin, c'est mon avis. Je ne sais pas encore.

[Anonyme007]

Pour ceux que ça intéresse, voici comment on démontre le théorème centrale limite,

- https://perso.eleves.ens-rennes.fr/p...vmaths/TCL.pdf
- https://agreg-maths.fr/uploads/versions/3847/TCL.pdf
Cela permet de comprendre comment on peut montrer que, .

[MissJenny]

attention, l'énoncé de la conjecture ne dit pas que la loi de X est absolument continue.

[Anonyme007]

Ah oui, c'est vrai, tu as raison.
Est ce que le théorème centrale limite ne porte que sur des lois absolument continues ?
Si oui, on ne le précise jamais dans l'énoncé du théorème dans tous les cours de probabilités niveau L3 que je rencontre. Pourquoi ?

[MissJenny]

non, le théorème central limite est très général. Même les moyennes d'une suite de variables de Bernoulli convergent en loi vers la loi normale.

[Anonyme007]

D'accord. Merci beaucoup. Ça me soulage.
Est ce que si la suite des fonctions génératrices dans le cas discret ( A ne pas confondre avec les fonctions caractéristiques, dans le cas continue ) des éléments d'une suite de lois discrètes de convergent simplement vers une fonction génératrice d'une loi quelconque de ( discrète ou continue ), alors, la suite des lois de la suite de variables aléatoires convergent en loi vers la loi de ?
Merci d'avance.

[MissJenny]

tu peux très bien utiliser la fonction caractéristique dans le cas discret. Fais attention au fait qu'il y a des lois qui ne sont ni discrètes ni continues.

[Anonyme007]

Merci beaucoup. Ça me soulage encore une fois.
Lorsque les lois ne sont ni discrètes ni continues, reste-t-il un espoir de considérer leur fonctions caractéristiques, ou bien elles n'ont pas de fonctions caractéristiques ?
Merci d'avance.

[Anonyme007]

On sait que, la fonction caractéristique de la loi d'une variable aléatoire est définie par une transformée de Fourier de la forme, , lorsque la loi de est absolument continue.
Lorsque la loi de n'est ni discrète ni continue, quel est l'équivalent de l'expression dans ce cas là ?
Et lorsque la loi de est discrète, quel est l'équivalent de l'expression dans ce cas ?

Merci d'avance.