Isomorphisme entre L(E, L(E,F)) et L²(E,F)

[Virginie013]

Bonjour à tous,

Un de mes camarades m'a passé le support de cours de son professeur sur la différentielles d'une fonction d'ordre 2. La partie qui m'intéresse concerne le fait que l'on puisse identifier les deux espaces isomorphes suivant : L(E, L(E,F)) et L(ExE, F)=L²(E,F). J'ai bien compris la démonstration qui permet de démontrer l'isomorphisme entre ces deux espaces mais je ne comprends pas du tout la façon dont cela est introduit dans le cours de ce professeur. Voici ce qui est écrit :



Que signifie ce qui est encadré en rouge ? Pourquoi mettre en jeu le couple (a, φ(a)(v)) ? Que fait φ exactement ?
Peut-être qu'il y a une erreur dans ce qui est écrit ?

Amélie
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[Anonyme007]

Bonjour,

Si on note l'application , par, , alors, ce qui est encadré en rouge signifie que, , , définie, par, , telle que, , .
n'est pas un couple de vecteurs, et , mais le produit scalaire de deux vecteurs et , qui est une forme bilinéaire, .

[Virginie013]

Bonjour

Merci pour ta réponse rapide. Je n'avais pas pensé à introduire un produit scalaire.

Cependant, je ne saisis pas l'intérêt d'introduire ce produit scalaire...Ne pouvait-on pas écrire simplement : f(φ)(a,v) = φ(a)(v) ?

Je ne vois pas trop le sens à donner à ce produit scalaire < a , φ(a)(v) > puisque a et φ(a)(v) n'appartiennent pas au même espace vectoriel. Est-ce que ce produit scalaire doit s'interpréter d'une manière particulière ? Quelle est la raison de l'avoir introduit ? Merci !

[Anonyme007]

Bonjour,

Cependant, je ne saisis pas l'intérêt d'introduire ce produit scalaire...Ne pouvait-on pas écrire simplement : f(φ)(a,v) = φ(a)(v) ?

Oui, on peut l'écrire. C'est la même chose. On obtiendra finalement, , qui est une application directe du théorème de représentation de Riez. Voir ici, https://www.bibmath.net/dico/index.p...riesz_rep.html

Je ne vois pas trop le sens à donner à ce produit scalaire < a , φ(a)(v) > puisque a et φ(a)(v) n'appartiennent pas au même espace vectoriel. Est-ce que ce produit scalaire doit s'interpréter d'une manière particulière ? Quelle est la raison de l'avoir introduit ? Merci !

Oui, il doit y avoir une petite erreur dans l’énoncé qui n'a pas été aperçu. Pour que, et appartiennent au même espace vectoriel, il faut impérativement que, . Donc, à mon avis, il faut corriger ce passage que tu as décelée, entre les espaces vectoriels correspondants.
En fait, j'ai commis un lapsus. On n'appelle pas un produit scalaire, parce que un produit scalaire est une forme bilinéaire à valeurs dans et non dans . Ici, est à valeurs dans , donc, on l'appelle un pairing, qui induit une dualité.
La raison d'avoir introduit un produit scalaire ( ou, plutôt un pairing ) est d’exhiber une factorisation de tout morphisme par ce produit scalaire, en appliquant le théorème de représentation de Riez. Donc, l'utilisation de ce produit scalaire sert à montrer que cette construction est universelle, en utilisant un jargon qui relève du langage de théorie des catégories. Mais ce sont des notions très avancée qu'on apprend dans les classes supérieurs. Alors, tu peux les oublier, parce que tu n'en auras pas besoin. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Propri...A9_universelle . On dit que la propriété de bilinéarité est une propriété universelle.

Il se peut qu'il y a des erreurs dans ce que je dis. J'espère que quelqu'un viendra compléter.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Pardon, je corrige un passage,
... On dit que la propriété de bilinéarité est une propriété universelle pour les applications linéaires.

[MissJenny]

il me paraîtrait plus logique que l'image de phi soit l'application qui au couple (a,v) associe (phi(a))(v) (et donc qu'il y ait une erreur). En tout cas ça irait bien pour la norme.

[GBZM]

Bonsoir,

D'accord avec MissJenny, il faut lire

et oublier ce que Anonyme007 écrit sur le produit scalaire qui n'a rien à faire ici.