Algèbres de lies et isomorphisme entre so(3) et su(2)

[invite3586b3b2]

J'ai lu sur un article que les algèbres de so(3) et su(2) sont isomorphes, pour le démontrer comment on procède?

je connais les relations de commutation des 2 algèbres, mais à part ça qu'est ce que je peux faire?
Merci
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[Universus]

D'une part, est l'ensemble des matrices réelles antisymétriques, donc un élément arbitraire de l'algèbre est de la forme avec .

D'autre part, est l'ensemble des matrices complexes antihermitiennes de trace nulle, donc un élément arbitraire de l'algèbre est de la forme avec .

Une application de l'une à l'autre est définie comme suit entre les générateurs suivants (et elle est prolongée par linéarité sur ) :

, , .

Puisque et , cette application définit bien un homomorphisme d'algèbres de Lie*. Un homomorphisme inverse s'obtient aisément en inversant simplement les flèches ci-dessus.

*Il y a possibilité que je fasse ici des erreurs de signes dans mes générateurs pour chacune des deux algèbres, mais avec les bons signes, les relations de commutations sont celles mentionnées.

[invite3586b3b2]

merci d'avoir répondu, j'aimerai bien savoir comment on a fait pour déduire l' existence d'un morphisme tel que ce que tu viens de DEFINIR

(au pire des cas un lien vers une démonstration est souhaitable) merci d'avance

[invite3586b3b2]

[QUOTE=Universus;4664509]D'une part, est l'ensemble des matrices réelles antisymétriques, donc un élément arbitraire de l'algèbre est de la forme avec

une telle matrice s'écrit plutot sous la forme non? parce qu'ici on parle d'une représentation de l'algèbre so(3) , et non le groupe so(3)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

J'ai donné l'expression générale des éléments des deux algèbres. Il est clair alors que n'importe quel élément de est de la forme , tandis que n'importe quel élément de est de la forme . On voit alors clairement qu'une application définie par et étendue par linéarité vérifie .

Pour savoir pourquoi nous définissons les avec ces signes et que les ont ce facteur , c'est précisément pour avoir les relations de commutation de la forme spécifiée dans mon précédent message.

Dans les faits, la preuve est terminée... Tout simplement parce que le raisonnement fonctionne. Si la question est de savoir pourquoi cela fonctionne (par exemple, j'aurais bien pu inverser b et c dans les matrices de , alors mon application ci-haute paraîtrait moins directe), je n'ai pas de bonne raison métamathématique à donner... Le groupe SU(2) est le recouvrement universel de SO(3), alors c'est normal qu'ils aient «la même» algèbre de Lie, mais encore ce n'est pas un fait complètement intuitif...

Édition: Non, je n'ai pas fait d'erreur dans ma matrice : elle doit être antisymétrique, ce que la matrice proposée au dernier message n'est pas. Je parle vraiment de l'algèbre so(3), et non pas du groupe SO(3) constitué des matrices réelles 3x3 orthogonales de déterminant 1.

[invite3586b3b2]

Merci , vraiment tu m'as fait gagné beaucoup de temps. A bientot