Logique mathématique : l'implication

[Rajesh]

Bonjour,

Par curiosité je m'intéresse en ce moment à la logique mathématique en tant que débutant. J'ai trouvé quelques cours d'introduction sur le net mais à chaque fois je rencontre quelques difficultés avec cette fameuse implication. Ce qui me gène c'est que pour l'instant je suis un peu obligé d'accepter une définition de cet opérateur.

Soit je tombe sur quelque chose du genre "l'opérateur implication A => B est défini comme ayant la même table de vérité que "non(A) OU B" , ou alors on définit directement l'implication par sa table de vérité et on se contente de remarquer à posteriori qu'en effet cette table est identique à celle de "non(A) OU B".

Serait-il possible de justifier (démontrer ?) chaque Vrai ou Faux de la table de vérité de l'implication en fonction des valeurs de vérité de A et B, ou doit-on se contenter d'admettre cette table de vérité, un peu comme une sorte de convention ?

En fait ce que je remarque (arrêtez-moi si je me trompe) c'est qu'on remplit les lignes de la table de vérité de l'implication avec un VRAI si on a une relation d'implication POSSIBLE entre A et B, et ceci quelle que soit la nature ou le contenu de ces derniers. Et à l'inverse on met FAUX pour la seule ligne ou l'implication est IMPOSSIBLE quelle que soit la nature, le contenu de A et B.

Ce que je veux dire par là c'est que :

- en partant d'un énoncé vrai on peut logiquement aboutir à un autre énoncé vrai.
- en partant d'un énoncé faux on peut logiquement aboutir à un autre énoncé vrai.
- en partant d'un énoncé faux on peut logiquement aboutir à un autre énoncé faux.
- en partant d'un énoncé vrai on ne peut pas logiquement aboutir à un énoncé faux.

Ce que je ne comprends pas, c'est que le statut VRAI ou FAUX de chaque ligne de la table de vérité de l'implication semble indiquer que l'on dépasse le statut de la simple possibilité ou impossibilité d'une implication, pour directement énoncer des certitudes d'ordre général qui ne prennent pas en compte la nature des énoncés qu'on utilise :

A => B sera toujours VRAI si A est VRAI et B est VRAI
A => B sera toujours VRAI si A est FAUX et B est VRAI
A => B sera toujours VRAI si A est FAUX et B est FAUX
A => B sera toujours FAUX si A est VRAI et B est FAUX

Pourquoi est-ce comme cela en mathématiques alors que dans la vie de tous les jours j'ai envie de dire qu'on ne peut pas vraiment se prononcer sur la véracité d'une implication sans connaître la nature même des énoncés qui sont considérés ?

Au final, pourquoi est ce que dans la vie de tous les jours une phrase du style "je suis un martien donc tu es le pape" nous paraît absurde alors qu'elle est considérée vrai dans le cadre de la logique mathématique de base à laquelle je m'intéresse en ce moment ?

Merci d'avance
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[plaxtor]

Ha j'ai mis aussi du temps à comprendre cette fameuse table de vérité de l'implication. En fait c'est simple, il faut pas forcément voir le truc comme l'implication que nous on s'imagine. Pourquoi ? Parce qu'on démarre TOUJOURS d'un truc vrai. Quand on si j'ai A alors j'ai B. Généralement tu as A !

Ta phrase serait plutôt si je suis un martien, alors tu es le pape. Sauf que tu ne seras jamais martien, donc cette phrase est vrai. Le truc c'est que le cerveau humain va s'imaginer que tu es un martien, mais ne va pas forcément saisir pourquoi l'autre est le pape. Pour résumer l'implication est souvent chez nous associé à une relation de cause à effet, ce qui peux perturber le raisonnement.

Je vais te montrer avec quel exemple j'ai saisi le truc.
Soit x un réel.

x>1 => x>0

On est d'accord que ceci est vrai pour tout x réel. Mais on ne va vérifier UNIQUEMENT pour les x>1 car pour les autres cas on s'en fiche. L'implication est toujours vérifiée.


Si tu es toujours perturbé, vois les choses à l'envers. A n'implique pas B, quand tu peux trouver une situation où A est vrai, mais pas B. Si tu ne trouves pas de situation, c'est donc que l'implication est vérifiée.
Pour prouver qu'une implication est fausse, on va donc chercher un contre-exemple, s'il n'y a pas de contre exemple, c'est à dire que tu as regardé tous les cas où A est vrai, et à chaque fois B était vrai aussi, alors A => B. Du coup bah si A n'est jamais vrai, ya automatiquement A => B.
Mais évite de raisonner avec les trucs du style, "quand les poules auront des dents", car ta représentation de la chose fait que tu vas en avoir une vision erronée.

En espérant que tu as compris,
Plaxtor.

[Médiat]

Bonjour,

Pour comprendre l'implication, il suffit de se demander à quelle condition on sait que l'implication est fausse ...

[Rajesh]

Salut et merci à tous les 2 pour vos réponses

Plaxtor tes explications m'ont aidées à avancer dans mon approche du sujet et en effet je saisis un peu mieux maintenant la subtilité du piège que l'on se tend parfois à soi- même en voulant faire des maths en dehors des maths.

Bien sûr tout n'est pas encore super clair et limpide dans ma tête... disons que j'ai accepté de passer sous silence quelques-unes de mes interrogations pour l'instant.

Médiat, je vais essayer de te répondre mais j'ai le sentiment de ne pas encore bien saisir toute la subtilité de ton explication.

A quelle condition sait-on que l'implication est fausse ? Et bien comme Plaxtor le dit dans son message, je dirais que l'on est sur qu'une implication est fausse lorsque l'on est en mesure de fournir un contre exemple ? Si on trouve un exemple où A est vrai mais B ne l'est
pas alors on est sur que A => B est faux.

De manière générale si on se fie à la table de vérité de l'implication j'aurais envie de dire qu'on peut affirmer que toute implication A => B est fausse à partir du moment où l'on sait que A est vrai et B est faux. Puisque le statut vrai ou faux de l'implication ne dépend que du statut vrai ou faux des énoncés qu'elle fait intervenir, il nous suffit d'avoir l'info vrai ou faux sur A et B pour se prononcer.

Mais je ne suis pas certain de voir où tu veux en venir avec ça

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Si on trouve un exemple où A est vrai mais B ne l'est pas alors on est sur que A => B est faux.

Et oui, tout est là.

On peut tout de suite voir une règle d'inférence : le modus ponens : Si (A et A ==> B) alors B.

Voir une présentation humoristique due à Bertrand Russell : http://ceadserv1.nku.edu/longa//clas...ssellpope.html

[Rajesh]

Merci pour la précision et la petite anecdote
Je me permet de laisser ce lien qui m'a aussi pas mal aidé (même si je ne l'ai sans doute pas encore bien digéré).

[PlaneteF]

Bonjour,

A quelle condition sait-on que l'implication est fausse ? Et bien comme Plaxtor le dit dans son message, je dirais que l'on est sur qu'une implication est fausse lorsque l'on est en mesure de fournir un contre exemple ? Si on trouve un exemple où A est vrai mais B ne l'est
pas alors on est sur que A => B est faux.

Et réciproquement parmi les combinaisons possibles, vrai et faux est la seule qui constitue un contre-exemple.

On peut alors écrire :



D'où :



... et l'on retombe bien sur --> C'est-à-dire le "non A ou B" dont tu parlais.


Cordialement

[Rajesh]

Oui en effet ça m'aide bien à structurer mes pensées ce que tu dis PlaneteF !!

Pour trouver la table de vérité de l'implication on peut donc partir du constat que (A et NON B) aura un statut de vérité opposé à celui de A => B. Justement car s'il existe un A tel que (A et NON B) est vrai alors on est dans le cas du contre exemple dont parlaient Plaxtor et Médiat, et on est sur que A => B est faux.

Et ensuite on arrange comme tu le fais et on arrive bien à A => B qui a le même statut de vérité que NON A ou B !!

Merci du coup de main !

[Rajesh]

car s'il existe un A tel que (A et NON B) est vrai...

Au temps pour moi je ne pense pas qu'on ait le droit de le dire comme ça. Je voulais plutôt dire "s'il existe un cas particulier tel que (A et NON B) soit vrai..."

[Desi14]

4.a - Table de vérité de l’implication [ A => B ou SI «*A*» ALORS «*B*» ]
Dans la table de vérité, V signifie Vrai et F signifie Faux
α. Dans le langage mathématique courant, la démarche que nous utilisons s’appelle «raisonnement par l’absurde». Pour tester la validité d’une hypothèse, on analyse toutes ses conséquences. Si elles sont toutes fausses, c’est que l’on s’est trompé, notre hypothèse de départ était fausse. C’est ce qui apparaît sur la dernière ligne de la table de vérité ci-contre. Dans une implication valide (vrai) lorsque B est faux, la seule ligne possible dans la table est la dernière*: A est obligatoirement faux.
β. Habitant CAEN, je peux témoigner du bon sens des arboriculteurs normands qui leur fait dire : si mon arbre est un Pommier alors [cela implique que] c’est un arbre fruitier. Si ce n’est pas un arbre fruitier, ce ne peut pas être un pommier !


4.b - La démonstration du «*raisonnement par l’absurde*»
La démonstration est assez pédagogique en théorie des ensembles.
Soit F l’ensemble des arbres Fruitiers et P l’ensemble des Pommiers.
P est un sous-ensemble de F, ce qu’illustre le schéma ci-contre.
P est contenu dans F donc tout élément de P est aussi un élément de F.
En logique, l’implication suivante est donc valide*:
SI «*P est vrai*» ALORS «*F est vrai*»*c’est-à-dire
SI «*mon arbre est un pommier*» ALORS «*c’est un arbre fruitier*».

Et en passant à la formule contraposée*:
Tout ce qui n’appartient pas à F (c’est-à-dire ce qui est situé à l’extérieur de F)
ne peut pas, non plus, appartenir à P, car P est à l’intérieur de F.
En logique, on obtient*:
SI «*non-F*» ALORS «*non-P*» c’est-à-dire
SI «*mon arbre n’est pas un arbre Fruitier*» ALORS «*ce ne peut pas être un Pommier*».

Implication_démo.pngTable_de_vérité.png

[pm42]

Tu viens de répondre à une question qui a presque 10 ans...