implication et logique

[kaderben]

Bonjour!
Formule: non(A implique B) équivaut à (A et non B). Or dans un exercice:soit (Un) une suite réelle. On dit que l de IR est limite de (Un) lorsque
quelquesoit e>0, existe p de N, quelquesoit n de N, n >= p implique IUn-lI<= e
Ecrire la phrase logique exprimant que l n'est pas limite de (Un).
Réponse de l'auteur: existe e>0, quelquesoit p de N, existe n de N, (n>=p) et IUn-lI>e)

Je vois qu'on prend la négation des quantificateurs dans le membre de A alors que dans la formule on ne touche pas du tout à A; si je comprends bien, A c'est uniquement (n>=p)
Je trouve que la formule est présentée d'une façon un peu déroutante! Peut être que je n'ai pas bien compris
Merci pour une petite explication
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[invitec317278e]

A c'est uniquement (n>=p)

oui, c'est ça

[invite57a1e779]

Bonjour,

On utilise la relation que tu cites : .

Mais on utilise aussi et .

On obtient successivement :


avec et .

[invitec317278e]

Autre chose, tu ne sembles pas bien voir pourquoi l'implication ne concerne que le n>=p ; on peut alors essayer de voir ce que ça donnerait si ça concernait plus de termes dans la formule.

si par exemple, c'était :
.

alors, cette implication est vrai si quand le membre de gauche est vrai, le membre de droite l'est aussi.

or, le membre de droit est toujours vrai : pour tout epsilon, il suffit de prendre p=0, et on a bien

donc le membre de gauche ne sert à rien ! l'implication est vraie si B est vraie, et fausse si B est fausse.
donc ça ne peut pas être ça.
D'autant plus qu'apparait alors un second problème : le epsilon et le p, si on met les parenthèses comme elles sont mises dans ce que j'ai écrit, ils ne sont "définis" que pour le membre de gauche, une fois qu'on lit le membre de droite, on doit faire comme si les variables définies dans le membre de gauche n'existaient plus. Le membre de droite n'a alors plus aucun sens quand on se souvient qu'il prend le epsilon en considération.

c'est pour ça que le "A" ne peut pas être autre chose que le "p>n"

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

or, le membre de droit est toujours vrai : pour tout epsilon, il suffit de prendre p=0, et on a bien

Petite faute de frappe, c'est le membre de gauche, mais surtout, je ne suis pas persuadé que

donc le membre de gauche ne sert à rien ! l'implication est vraie si B est vraie, et fausse si B est fausse.donc ça ne peut pas être ça.

Ce n'est pas un argument mathématique

Le membre de droite n'a alors plus aucun sens quand on se souvient qu'il prend le epsilon en considération.

La formule a un sens, même sans le(s) quantificateur(s) (ce n'est pas le sens attendu, bien sur, mais c'est exagéré de dire qu'elle n'en a pas.

[invitec317278e]

Petite faute de frappe, c'est le membre de gauche, mais surtout, je ne suis pas persuadé que

La formule a un sens, même sans le(s) quantificateur(s) (ce n'est pas le sens attendu, bien sur, mais c'est exagéré de dire qu'elle n'en a pas.

quel est-il ?

[Médiat]

quel est-il ?

Règle de généralisation :


Autrement dit, démontrer une formule avec une (des) variables libres, sans aucune condition dessus, revient à démontrer cette formule pour toutes les valeurs de la variable.

[invitec317278e]

il n'y a pas un problème de typage, alors ? ça veut dire qu'il faut montrer la formule avec epsilon étant l'ensemble {{}}, ou epsilon étant la matrice identité ?
Sauf si on dit que vu le signe devant le epsilon, on déclare que c'est sous entendu que epsilon doit être quelque chose de comparable avec cette relation d'ordre ?

[Médiat]

il n'y a pas un problème de typage, alors ?

En logique pure, non, car toutes les variables sont prises dans le même "Univers", par exemple ici IR, et pour dire que certaines variables sont dans IN, on va introduire un prédicat (qui assure le typage) qui fait, du coup partie intégrante de la formule.

s'écrirait
.

Je ne conseille pas forcément (dans certains contextes, oui) de faire ainsi, mais dire qu'une formule avec des variables libres n'a pas de sens m'a fait réagir .

[kaderben]

Merci à vous de m'avoir éclairé un peu mais votre débat me dépasse...(c'est bien de débattre)
Mreci.

[invitec317278e]

Loin de moi l'idée de débattre avec Médiat à ce propos.