[Logique] Implication

[inviteaf68f0d4]

Bonjour,

Par exemple, soit à résoudre l’équation = x. Elevons au carré les deux
membres puisque a = b ⇒ a² = b². On obtient : = x⇒x + 6 = x². Mais ce n’est pas réversible car a² = b² n’implique pas a = b, mais a = b ou a = −b. On est donc parti pour démontrer seulement P⇒Q.
Continuons : x + 6 = x² ⇒x² − x − 6 = 0⇒.....⇒x = −2 ou x = 3. On vient de prouver que « = x »⇒ « x = −2 ou x = 3 », de faire l’analyse du problème, dit-on. On vient de prouver que si x est solution de l’équation alors x = −2 ou x = 3.

Ce que je ne comprend pas c'est

On vient de prouver que si x est solution de l’équation alors x = −2 ou x = 3.

Pourquoi x=-2 ou x=3 sont nécessairement la solution de l'équation initiale si celle ci existe.
Je n'arrive pas a comprendre la logique derrière cela.

Merci
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

En élevant l'équation initiale au carré, on tombe sur un trinôme dont on cherche les racines. Si celles ci existent, elles sont données par la méthode de recherche des racines d'un trinôme vue en 1ère.

Bon courage!

[invitec17b0872]

Bonjour,

Tout repose dans la proposition "a=b implique a²=b²".
Prenons un exemple concret : Paul doit venir diner. On peut dire "Si Paul roule trop lentement, alors il arrivera en retard". Il y a relation d'implication.
Par contre, si on constate que Paul arrive en retard, c'est peut-être qu'il a eu un accident, ou qu'il est parti en retard.
Bref, on arrive à trouver une implication dans un sens, mais pas dans l'autre.

Il y a des cas où on trouve une relation d'implication dans les deux sens, comme dans le théorème de Pythagore : si a²=b²+c² alors le triangle est rectangle. et si le triangle est rectangle alors a²=b²+c². La proposition et sa réciproque sont vérifiées. Il y a équivalence.

Dans votre exemple, on a montré que s'il existe des valeurs qui vérifient l'équation de départ, alors ce sera soit -2 soit 3. Mais on n'a pas montré que -2 et 3 vérifient cette équation.
Et d'ailleurs, voyez-vous même ! Avec -2, on est amené à calculer la racine carrée de -2+6, càd de 4, et racine de 4 c'est -2 (là ça marche) ou 2, et là ça ne marche pas.

[inviteaf68f0d4]

Ca j'ai compris.

Mais ce que je n'ai pas compris par contre c'est:
Pourquoi si l'equation initiale a une solution alors celle ci est necessairement parmi les reels obtenu par implication ?

Edit: Ce message a été écrit avant celui de Rhodes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf68f0d4]

Dans votre exemple, on a montré que s'il existe des valeurs qui vérifient l'équation de départ, alors ce sera soit -2 soit 3.

C'est cela que je n'arrive pas a comprendre. Pourquoi l'implication a laquelle on a abouti implique-t-elle ce resultat ?

[invitec17b0872]

C'est une suite d'implications.
Le signe "=> " se lit "si.... alors....".
Partez de l'équation de départ, et prononcez-vous cette phrase à chaque étape. Vous en serez à vous dire que si racine de x+6 vaut x, alors x vaut -2 ou x vaut 3.
Comprendre "pourquoi", s'il existe des solutions, alors ce sont -2 ou 3, c'est comprendre que "=>"se lit "si...alors...".
Enfin, l'implication est transitive : a implique b et b implique c sous-entend que a implique c : on peut les enchainer.

[invitee4ef379f]

D'accord, désolé j'ai mal positionné le problème.

Soit le trinôme ax²+bx+c où a,b et c sont réels.

Résoudre l'équation (E): ax²+bx+c = 0
revient à dire:

Si x vérifie (E), alors x est égal aux racines du trinôme, si celles ci existent.

[mag88]

C'est cela que je n'arrive pas a comprendre. Pourquoi l'implication a laquelle on a abouti implique-t-elle ce resultat ?

Tu as du voir la méthode de résolution des équations du 2e degré.
pour une équation de la forme ax²+bx+c=0, on calcule delta=b²-4ac
Alors il y a 2 solutions :
x=(-b+racine(delta))/(2a)
x=(-b-racine(delta))/(2a)

[inviteaf68f0d4]

Bon vu vos réponses je crois que vous n'avez pas compris ma question alors je vais tenter de formuler autrement dans un cas general.

Pourquoi si:

f(x)=0 ==> g(x)=0

alors les racines de f(x) s'ils existent sont nécessairement parmi ceux de g(x).

J'espère que j'ai été plus clair cette fois

[invitee4ef379f]

Si, c'est bien ce que j'avais compris, et je me suis très mal exprimé dans ma précédente réponse.

De manière rigoureuse, je pense que Rhodes77 sera plus apte que moi à t'expliquer ce résultat.

Néanmoins, je ne pense pas qu'on puisse d'ire d'une manière générale que si f(x) =0 => g(x)=0, alors les solutions de f(x) sont nécessairement parmi celles de g(x).

Ici, la véracité de cette affirmation tient du fait que l'équation (E'): g(x)=0 n'est qu'une transformation dite surjective de l'équation (E): f(x)=0. La transformation appliquée ne fait que faire apparaître de nouvelles solutions, mais ne supprime pas pour autant les solutions de (E) si elles existent.

On peut même écrire dans le cas présent:


On voit clairement que les racines de f si elles existent forment un sous ensemble des racines de g.

En espérant que cela aide, et en espérant ne pas m'être perdu dans les notions de surjection/injection...

[invitee4ef379f]

l'équation (E'): g(x)=0 n'est qu'une transformation dite surjective de l'équation (E): f(x)=0

Peut être faudrait il préciser que la transformation appliquée à (E) est surjective mais non injective: tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins antécédent dans l'ensemble de départ, mais cet antécédent n'est pas forcément unique.

C'est ce qui se passe quand tu mets au carré l'équation (E):

[inviteaf68f0d4]

De manière rigoureuse, je pense que Rhodes77 sera plus apte que moi à t'expliquer ce résultat.

En espérant qu'il y réponde...

Néanmoins, je ne pense pas qu'on puisse d'ire d'une manière générale que si f(x) =0 => g(x)=0, alors les solutions de f(x) sont nécessairement parmi celles de g(x).

un contre exemple pour y voir plus clair ?

En espérant que cela aide, et en espérant ne pas m'être perdu dans les notions de surjection/injection...

Je remercie ton effort mais je ne suis pas familier avec ces notion. Je viens de voir leur définition et faut dire que je m'y perds facilement et je n'arrive pas a suivre ton raisonnement.

Pourrais tu et est ce que quelqu'un pourrait expliquer cela d'une façon différente ?
Cela fais 2-3 jours que je cherche sur internet dans des livres que je demande... en vain.

[invitee4ef379f]

Bon, pardon, je m'embrouille, j'ai voulu me lancer dans des grandes théories sans y réfléchir suffisamment. Considère que tout ce que j'ai dit auparavant est obsolète. Je reviendrai quand j'aurai quelque chose de plus sérieux à proposer.

Bon courage!

[invitee4ef379f]

Néanmoins, je ne pense pas qu'on puisse d'ire d'une manière générale que si f(x) =0 => g(x)=0, alors les solutions de f(x) sont nécessairement parmi celles de g(x).

En effet c'est une belle boulette.


Ta question se répond à elle même:

f(x) = 0 => g(x) = 0

Signifie: "si x est racine de f, alors x est aussi racine de g".

Voilà pourquoi les racines de f si elles existent sont aussi racines de g; elles sont donc nécessairement parmi celles de g.

Tu as quand même réussi à bien me faire tourner en rond

[invitee4ef379f]

Pourquoi si:

f(x)=0 ==> g(x)=0

alors les racines de f(x) s'ils existent sont nécessairement parmi ceux de g(x).

Cette proposition se démontre par l'absurde de la manière suivante:

Hypothèse: soit X une racine de f qui ne soit pas racine de g.

f(X) = 0 => g(X) = 0

donc X est racine de g, ce qui contredit l'hypothèse de départ.


Donc si f(x) = 0 => g(x) = 0, alors les racines de f sont nécessairement des racines de g.

Bon courage!

[inviteaf68f0d4]

En effet .. fallait y penser.
Des fois je me pose beaucoup trop de question ...


Merci