Extension de corps

**jall2** · 26/09/2024, 16h59

bonjour

On peut construire C comme ceci:

Dans ℝ[X] le polynôme x²+1 est irréductible. On "crèe" une racine de ce polynôme et on l'appelle i, que l'on rajoute à ℝ. Dans ce nouvel ensemble noté ℂ les éléments sont de la forme a+b.i

Pour l'addition, (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d).i
Pour la multiplication on a (a+bi)(c+di) = ac+ad.i +bc.i + bd.i² = (ac-bd) + (ad+bc)i, car i²=-1

(ℂ, +, x) est un corps

Ok, tout le monde connaît déjà ça.

Et si je change de polynôme irréductibe ?

C'est forcément un polynôme de degré 2, par exemple x²+2x+2 ?

soit α une racine "inventée" pour ce polynôme, que l'on rajoute à ℝ, les élements sont de la forme a+b.α, l'addition est évidente, et pour la multiplication, on fait une multiplication de polynôme modulo α²+2α+2

(a+b.α)(c+d.α)= ac+(ad+bc).α+ bd.α² mod α²+2α+2

Qu'est ce que ça donne comme ensemble ?

**Anonyme007** · 26/09/2024, 17h31

Bonjour,

On a, $\text{[math]}$ est irréductible sur $\text{[math]}$ .
Soit, $\text{[math]}$ tel que, $\text{[math]}$ .
Alors, $\text{[math]}$ .

D'où, pour la multiplication dans $\text{[math]}$ , on a,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Et, $\text{[math]}$ , tel que, $\text{[math]}$ .

**stefjm** · 26/09/2024, 18h13

Bonjour,
J'ai l'impression qu'on peut quotienter R[X] par n'importe quel polynôme irréductible sur R pour retomber sur les complexes.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre...polyn%C3%B4mes

Mais je peux me tromper.

**Anonyme007** · 26/09/2024, 18h25

Bonjour stefjm,

Il faut quotienter $\text{[math]}$ par n'importe quel polynôme irréductible $\text{[math]}$ de degré $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , et non n'importe quel polynôme irréductible sur $\text{[math]}$ , dans ce cas là, le nouveau corps quotienté par $\text{[math]}$ , que je note, $\text{[math]}$ , est isomorphe à $\text{[math]}$ , par l'isomorphisme de corps, $\text{[math]}$ , tel que, $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ , où, $\text{[math]}$ est une supposée racine du polynôme $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 26/09/2024, 18h31

Il faut aussi impérativement que, $\text{[math]}$ ait deux racines distinctes pour que, $\text{[math]}$ soit isomorphe à $\text{[math]}$ .

**gg0** · 26/09/2024, 18h34

Heu ... tu connais beaucoup de polynômes de degré 2 irréductibles sur R qui n'ont qu'une seule racine ??

**Anonyme007** · 26/09/2024, 18h43

Je n'ai pas compris ou tu voulais en arriver gg0.
J'ai commis une erreur.
Pour que $\text{[math]}$ soit isomorphe à $\text{[math]}$ , il faut impérativement que, $\text{[math]}$ soit de la forme, $\text{[math]}$ , où, $\text{[math]}$ .

**gg0** · 26/09/2024, 20h16

Ben ... Un polynôme irréductible dans \mathbb R n'a pas de racine (tu devrais le savoir). S'il est du second degré, il a deux racines complexes non réelles, conjuguées, dans \mathbb C (tu devrais le savoir). Donc écrire "Il faut aussi impérativement que, $R$ ait deux racines distinctes pour ..."montre que tu ne sais pas de quoi tu parles. C'est moi qui ai souligné "aussi".
Comme souvent !
Et dans ton dernier message, tu parles aussi sans savoir ...

Mais tu n'as honte de rien ...

**Médiat** · 26/09/2024, 20h30

Envoyé par Anonyme007

Je n'ai pas compris ou tu voulais en arriver gg0.

Ce qu'il voulait dire et que vous auriez certainement compris sans le mépris et l'agressivité, c'est qu'un polynôme irréductible sur $\text{[math]}$ de degré 2 a forcément deux racines distinctes dans $\text{[math]}$ , le préciser n'est donc pas faux, mais inutile.

**gg0** · 26/09/2024, 20h57

Mon message #6 ne comporte ni mépris, ni agressivité.

**Anonyme007** · 26/09/2024, 21h35

Envoyé par Médiat

Ce qu'il voulait dire et que vous auriez certainement compris sans le mépris et l'agressivité, c'est qu'un polynôme irréductible sur $\text{[math]}$ de degré 2 a forcément deux racines distinctes dans $\text{[math]}$ , le préciser n'est donc pas faux, mais inutile.

Merci Mediat.

**Médiat** · 27/09/2024, 09h16

De rien, c'est le rôle de ce forum, normalement.

**MissJenny** · 27/09/2024, 09h54

c'est un exercice intéressant que de construire une clôture algébrique de R en utilisant un autre polynôme que X^2+1. On comprend mieux pourquoi on dit une clôture algébrique et pas la clôture algébrique.

**stefjm** · 27/09/2024, 11h04

Toutes les clôtures algébriques de R sont identiques à isomorphisme près, non?

D'où le "la" qu'on trouve aussi parfois.

A moins que je ne confonde avec autre chose?

**Médiat** · 27/09/2024, 11h27

Pas de confusion , le choix de l'article (une ou la) est l'expression d'une philosophie (d'un ressenti), voir par exemple : Interprétation de la notion d'isomorphisme (futura-sciences.com).
Ce n'est donc pas une question purement mathématique que de choisir.

**MissJenny** · 27/09/2024, 11h31

Ce qui compte c'est l'unicité ou pas de l'isomorphisme. S'il y a un isomorphisme canonique on dit "le" (le corps des fractions par exemple, le corps à 4 éléments) sinon on dit "un" (une droite vectorielle par exemple).

**Médiat** · 28/09/2024, 12h48

Encore une fois c'est une réponse qui tiens plus de la philosophie que des mathématiques, même si la justification est mathématiques : si deux structures sont isomorphes, tout ce que l'on peut dire sur l'une peut être dit sur l'autre, pourquoi les distinguer (distinction qui tient plus dans notre façon de les appréhender qu'à leur nature).

Je serais (à la limite) près à dire "un.e" si l'isomorphisme n'est pas explicité

**stefjm** · 28/09/2024, 19h05

J'ai toujours été gêné par les termes canonique et naturel.

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