Fonction continue par morceaux 1/x

[Telog]

Bonsoir,

J'aimerais savoir si la fonction f qui à x associé 1/x si x différent de 0 et 1 si x = 0 est continu par morceau sur R. Je que non mais je ne suis pas sur ma démonstration : mon idée est de dire que pour avoir une subdivision (ak) k dans [1,n] telle que 1/x soit continue sur ]ak-1,ak[ on devra prendre un ak=0, et donc pour ce terme on aura f qui n'admet pas de prolongement par continuité en ak.

Autre question qui n'a rien à voir , peut on dire qu'une fonction qui est continue sur ]a,b] admettant un prolongement par continuité en a est continue, ou doit on toujours préciser que c'est sa fonction prolongée qui vérifie ça? (Par exemple je pense que ce serait faut de dire que x/sin(x) est continue en 0 car elle n'est même pas définie).
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[gg0]

Bonjour.

J'imagine que dans ta définition de "continue par morceaux", tu as une subdivision et que sur chaque intervalle de la subdivision, la fonction est continue, y compris à droite ou à gauche aux bornes. Dans ce cas, ton raisonnement est correct, on peut juste raffiner en justifiant le "on devra prendre un ak=0".

Pour ta deuxième question, ça dépend des auteurs. Strictement parlant, il faudrait préciser. Pour x/sin(x), ou plutôt pour son inverse, qui pose moins de problème, on appelle sinc (sinus cardinal) son prolongement par continuité, et on a une fonction très utile, définie sur tout R.

Cordialement.

[Telog]

D'accord merci!