variéte de Fano + Grothendieck +variétés algébriques/différentielles

[pachacamac]

Bonjour,

Suite à la lecture du dernier numéro de la recherche sur " Géométries et formes" quelques questions mathématiques me sont venues à l'esprit bien qu'elles me dépassent un peu...

J'ai lu que c'est Grothendieck, qui a défini/inventé la notion de schéma et qu' A.Wiles a utilisé les schémas dans sa démonstration du dernier théorème de Fermat.
Peut t'on dire que sans les travaux de Grothendick cela n'aurait pas été possible ?

Dans ce numero Alesio Corti a écrit :

 ...Trois courbures (négatives, nulle ou positive) sont associé à trois géométries (hyperbolique, plate ou sphérique ).(ok)
Les variétés correspondantes sont respectivement de type général, de Calabi-Yau  ou de Fano 
  

Je trouve cela très étonnant. Peut t'on me confirmer (ou infirmer ) que c'est bien le cas.
Car si c'est correct alors je trouve ces variétés de Fano très méconnues...

Note 1 : j'ai regardé (sans y comprendre grand chose) la définition de ces variétés dans le tout début d'un séminaire Bourbaki sur les variétés de Fano ça me semble être des variétés très particulières...
Note 2 . je suis pas vraiment mathématicien loin de là.

Une dernière question : est t'il possible décrire en quelques mots ou phrases la ou les différences principales entre variétés algébriques et variétés différentielles ?

Merci de m'avoir lu et merci d'avance pour toutes réponses à l'une ou plusieurs de ces questions.
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[MissJenny]

Une dernière question : est t'il possible décrire en quelques mots ou phrases la ou les différences principales entre variétés algébriques et variétés différentielles ?

juste ce point : une variété algébrique (dans la version la plus simple) c'est l'ensemble des zéros communs à des polynômes P1,..,Pk à n indéterminées. Par exemple le cercle unité est l'ensemble des zéros du polynôme X^2+Y^2-1 (ici k=1 et n=2). Ensuite le concept a été "modernisé", par exemple on voit immédiatement que si x annule P1,..,Pk il annule tout polynôme de l'idéal engendré par P1,...,Pk (idéal de l'anneau k[X1,...,Xn]) et donc une variété algébrique peut être assimilée à un idéal de cet anneau de polynômes.

une variété différentielle (ou différentiable) c'est juste un espace topologique E muni d'un certain nombre d'applications qui vont d'un ouvert de E vers un ouvert d'un certain R^n, applications qu'on appelle "cartes" et qui vérifient certaines règles de "changement de cartes". Ces variétés, si on les plonge dans un espace affine, n'ont pas de raison de correspondre aux zéros d'un ensemble de polynômes.

[Anonyme007]

Bonsoir,

J'ai lu que c'est Grothendieck, qui a défini/inventé la notion de schéma et qu' A.Wiles a utilisé les schémas dans sa démonstration du dernier théorème de Fermat.
Peut t'on dire que sans les travaux de Grothendick cela n'aurait pas été possible ?

La théorie des schémas de Grothendieck est anecdotique dans la preuve du dernier théorème de Fermat de Wiles.
Wiles a prouvé la conjecture de Fermat en utilisant les représentations Galoisiennes p-adiques associées aux courbes elliptiques. Seuls ses courbes elliptiques qui ont en fait une structure de schéma si on puisse dire. Mais, le bagage théorique de la théorie des schémas n'est pas utilisé dans cette demonstration de Wiles.
Donc, on peut dire que la demosntration de Wiles ne repose pas sur la théorie des schémas de Grothendieck.
J'avais appris cette démonstration en 2016 sur un pdf qui était disponible sur le net en deux pages, mais je ne le trouve pas hélas.

[Anonyme007]

Une dernière question : est t'il possible décrire en quelques mots ou phrases la ou les différences principales entre variétés algébriques et variétés différentielles ?

On peut dire que les variétés algébriques sont des variétés différentielles mais qui contient des singularités. C'est à dire, elle s ne sont pas lisses comme les variétés différentielles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Dans ce numero Alesio Corti a écrit :

 ...Trois courbures (négatives, nulle ou positive) sont associé à trois géométries (hyperbolique, plate ou sphérique ).(ok)
Les variétés correspondantes sont respectivement de type général, de Calabi-Yau  ou de Fano 
  

Je trouve cela très étonnant. Peut t'on me confirmer (ou infirmer ) que c'est bien le cas.
Car si c'est correct alors je trouve ces variétés de Fano très méconnues...

Note 1 : j'ai regardé (sans y comprendre grand chose) la définition de ces variétés dans le tout début d'un séminaire Bourbaki sur les variétés de Fano ça me semble être des variétés très particulières...

Oui, ce sont des variétés algébriques très particulières.
Leur importance réside dans le fait qu'ils jouent le rôle de classificateurs d'autres classes d'objets en géométrie algébrique. C'est à dire, ils jouent le rôle d'espaces de modules, qui sont solutions de certains moduli problems.

[pachacamac]

Merci beaucoup à vous deux.

[pachacamac]

@Anonyme007

J'avais appris cette démonstration en 2016 sur un pdf qui était disponible sur le net en deux pages,

Cela devait être un résumé très schématique car il semblerait que la démonstration de Wiles est très compliquée

. ...la dernière mouture de sa preuve est soumise à une équipe de six spécialistes (trois suffisent d'habitude) nommés par Barry Mazur ; chacun doit évaluer une partie du travail de Wiles. Parmi eux figurent Nick Katz et Luc Illusie, que Katz a appelé en juillet pour l'aider ; la partie de la preuve dont il a la charge est en effet très compliquée... wikipedia

[Anonyme007]

Voici la preuve dont je te parle @pachamac,
https://les-mathematiques.net/vanill...a-langue-arabe
Il y a un pdf sur ce lien sous le titre : olivetti-modularity.pdf : Clique deux fois dessus, et tu verras.