integrabilité

[Easyjet]

Bonjour,

On prend f une fonction intégrable sur R+ à valeurs dans R, par rapport à la mesure de Lebesgue lambda_1.
On veut calculer .
Pourquoi ne puis-je pas passer à la limite quand x tend vers + l'infini dans et donc trouver 0 (mon prof me dit que non) ?
Il y a notamment l'exo 1 et l'exo 3 où ceci est utilisé ici http://ddmaths.free.fr/section115.html

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Comment ton prof justifie-t-il ce "non" ?

Cordialement.

[Anonyme007]

Bonjour,

Pourquoi ne puis-je pas passer à la limite quand x tend vers + l'infini dans et donc trouver 0 (mon prof me dit que non) ?

A mon avis, si l'intégrale, est divergent, la quantité, quant , est une forme indéterminée, et donc, n'a pas de sens. C'est pourquoi, on ne peut pas faire tendre vers .

[Anonyme007]

Ah d'accord. J'ai commis une erreur.
est par hypothèse, intégrable sur , donc, n'est pas divergent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Easyjet]

En fait, en TD on est passé par une suite (x_n) qui tend vers +oo et on a posé f_n = f multiplié par l'indicatrice de l'intervalle [x_n, +00[ et on a conclu par la caracterisation sequentielle. Le prof a dit que faire ma methode revient à faire sequentiellement dans l'integrale de 0 à x de f. Bon il s'est sûrement trompé.
Mais si ma methode fonctionne j'ai une question : si f est integrable sur R+, cela signifie : . Mais ici on ne sait pas si f est positive (en fait on le montre à la question d'après dans l'exo) donc qui nous dit que . Ensuite on conclut en disant que : .

[Anonyme007]

Qui nous dit que .

On a,

[Easyjet]

Effectivement !!!

[Anonyme007]

A mon avis, est faux. ( Il faux le montrer )
Parce que, le théorème de convergence dominée ne s'applique pas dans ce cas précisément.

[Anonyme007]

Tu dois montrer que,
Donc, tu dois montrer ou justifier pourquoi, par un contre exemple, que, .

[Anonyme007]

Il y a un contre-exemple ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...e_domin%C3%A9e ( Voir paragraphe : Remarques sur l'hypothèse de domination )

[Easyjet]

Je croyais que si est convergente (ce qui est vrai car f integrable), alors sans invoquer la caracterisation sequentielle.

[Anonyme007]

Je croyais que si est convergente (ce qui est vrai car f integrable), alors sans invoquer la caracterisation sequentielle.

Non. Il y a un contre-exemple ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...e_domin%C3%A9e ( Voir paragraphe : Remarques sur l'hypothèse de domination )

[gg0]

Bonsoir.

N'y a-t-il pas domination par g=|f| ?

[Anonyme007]

Bonsoir.

N'y a-t-il pas domination par g=|f| ?

Oui, mais, , ne domine pas, , comme demandé dans l'énoncé du théorème de convergence dominée.

[Anonyme007]

Oui, tu as raison gg0. Où se trouve le hic, alors ?

[gg0]

Je n'en vois pas ... seul le prof d'Easyjet peut lui dire ...

[Easyjet]

Je lui demanderai mardi je vous tiens au courant.

[Easyjet]

Il a admis qu'on pouvait bien faire comme cela.

[gg0]

Merci. ........................