Bonsoir,
je lis le livre "algebre commutative" de Malliavin et je bute sur un detail : il est montré que si $S\subset A$ est une partie multiplicative d'un anneau et $B$ est une extension entière sur $A$, alors $S^{-1}B$ est entier sur $S^{-1}A$. (*)
Il est aussi montré que si $B$ est une extension entiere de $A$, alors leur dimension de Krull coincident.
Puis un peu plus tard on veut montrer que si $B$ est une extension entiere de $A$ et $Q$ est un ideal premier de $B$, alors $P:=Q\cap A$ et $Q$ ont la meme hauteur. La preuve prétend exploiter la remarque facile que la hauteur d'un ideal premier est égale à la dimension de Krull de son localisé. Le passage que je comprends pas est "puisque $B$ est entier sur $A$, $B_Q$ est entier sur $A_P$". Je ne vois pas comment on peut déduire cela de (*), puisque on a deux parties multiplicatives $S=A-P$ et $T=B-Q$ et non pas une seule comme dans (*). Et aussi il n'y a aucune raison que le morphisme canonique $A_P\rightarrow B_Q$ soit injectif, contrairement au cas d'une seule partie multiplicative $S^{-1}A\rightarrow S^{-1}B$ : donc comment peut on dire que $B_Q$ est une extension de $A_p$ ?
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est une partie multiplicative d'un anneau et