Une primitive...

[invite71b8e227]

Salut tout le monde!

Voila je voulais savoir si par hazard vous saviez comment calculer la primitive de :

racine carré de (1 - cos x)

(le but étant au final de claculer l'intégrale de (- pi sur 2) a (pi sur 2) de cette fonction...


Voila, merci de votre aide
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[invite636fa06b]

Bonsoir,

Ecrit cos(x) en fonction de sin(x/2)

[GillesH38a]

Salut tout le monde!

Voila je voulais savoir si par hazard vous saviez comment calculer la primitive de :

racine carré de (1 - cos x)

(le but étant au final de claculer l'intégrale de (- pi sur 2) a (pi sur 2) de cette fonction...


Voila, merci de votre aide

Il me semble que 1-cosx = 2 sin^2 (x/2) non, ça peut aider? faut juste faire attention aux valeurs absolues ...

[invite71b8e227]

A oui exact, j'avais oublié ca donc si mes calculs ne sont pas erronés...l'intégrale dont je parlais vaut -4...

Merci de votre aide... j'en ai tout plein d'autres pour m'entrainer, si j'ai besoin d'aide pour certaines je vous ferais signe sur ce topic meme, en tout cas merci (en espérant que j'ai pas fait une erreur de calcul )

[A voir en vidéo sur Futura]

[GillesH38a]

A oui exact, j'avais oublié ca donc si mes calculs ne sont pas erronés...l'intégrale dont je parlais vaut -4...

ca m'étonnerait, la fonction à intégrer étant positive....

[invite71b8e227]

ca m'étonnerait, la fonction à intégrer étant positive....

ben ouais t'as raison

on est d'accord que race de(1 moins cos(t)) équivaut a
racine de 2 * sin (t/2) ?

après pour les variations de la primitive....on prends comme primitive (-2racine de 2) * cos (t/2) ??? qui est la primitive de la fonction a intégré simplifié ci -dessus...

[GillesH38a]

ben ouais t'as raison

on est d'accord que race de(1 moins cos(t)) équivaut a
racine de 2 * sin (t/2) ?

non... je t'avais dit de faire attention .
racine (u^2) = |u| il y a une valeur absolue. Il faut couper l'integrale en deux parties (identiques) de -Pi/2 à 0 et de 0 à Pi/2 en tenant compte du signe de la v.a. (d'ailleurs tu aurais du trouver 0).

[invite71b8e227]

oula, je suis un peu novice en la matiere sur ce point la..j'ai jamais fait d'intégrale de la valeur absolu d'un truc...tu pourrais m'aiguiller davantage sur la méthode à utiliser.... et que veux tu dire par couper l'intégral en deux??? (integrale de -pi/2 a o) + (integrale de 0 à pi/2)?

[invite88e71a19]

Demarche suivie par Maple:



change



change



change



donc

[edpiste]

oula, je suis un peu novice en la matiere sur ce point la..j'ai jamais fait d'intégrale de la valeur absolu d'un truc...tu pourrais m'aiguiller davantage sur la méthode à utiliser.... et que veux tu dire par couper l'intégral en deux??? (integrale de -pi/2 a o) + (integrale de 0 à pi/2)?

Si tu n'es pas à l'aise avec la valeur absolue, pense à cette astuce :

si f est une fonction paire alors .

Utilise cette astuce au début de ton problème et tu n'auras plus à te soucier des valeurs absolues ensuite.

Minnolina, ça serait peut-être plus pédagogique de donner des indications plutôt qu'une solution complète, non ?

[lolouki]

Bonjour all,

juste une petite question,

comment prouve t'on que :" 1-cosx = 2 sin²(x/2)" ?

[Coincoin]

Salut,
Utilise le fait que cos(x)=cos(x/2+x/2) et applique la formule pour cos(a+b).

[lolouki]

cos 2a = cos²a - sin²a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a

1- cosx = 1- (1 - 2sin²(x/2))
= 2 sin² (x/2)

Mercin coincoin ^^

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J'ai essayé plusieurs fois sans succès de refaire cet exercice mais chaque fois je coince sur le changement de variable:

Si l' on pose t=Tan(x/2),Cos(x) devient1-t^2)/(1+t^2)

et l'Intégrale devient alors:

Primitive de Sqrt[1-[(1-t^2)/(1+t^2)]]*dt

Mais cela ne donne pas le mème résultat que celui dont minnolina a fournit la démonstration,j' en déduit donc que ma primitive est fausse....Mais oû je me trompe donc dans mon raisonnement?
Si quelqu'un qui a compris l'astuce à utiliser pouvait me détailler le changement de variable,je lui en serais très reconnaissant.....

Merci d 'avance pour vos réponses....

Cordialement le fouineur

[Scorp]

Moi je retrouve bien la première étape proposée minnolina. Si tu n'y arrive pas essaye dans l'autre sens, c'est plus facile :
Tu pose donc
En prenant tu obtient après simplification par 1+tan²(x/2) : qui n'est autre que qui est égale à .
On a bien montré que les deux primitives étaient les même. Mais bon, ca me parait un peu compliqué.
D'ailleurs, vous posez u=tan(x/2) à cause des règles de Bioches, au feelings, pour une raison que je ne vois pas ??? quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

[Scorp]

Si l' on pose t=Tan(x/2),Cos(x) devient1-t^2)/(1+t^2)

et l'Intégrale devient alors:

Primitive de Sqrt[1-[(1-t^2)/(1+t^2)]]*dt

En fait, c'est normal que tu ne retombe pas sur le résultat. Certes , mais il te manque l'autre étape du changement de variable : On n'a pas dt=dx contrairement à ce que tu semble dire au vu de tes calculs, mais on a bien . Je pense que c'est là qu'est ton erreur. Regarde mon post précedent pour le détail des calculs

[le fouineur]

Bonsoir Scorp et merci pour ta réponse rapide,

Effectivement,j'ai fait une erreur à l'endroit que tu indiques:il fallait calculer dx,on a:

dx=[2/(1+t^2)]*dt ceci corrigé,l'intégrale devient:

Intégale de Sqrt[(2*t^2)/(1+t^2)]*[2/(1+t^2)]*dt

dont je trouve comme primitive:-2*Sqrt(2)/Sqrt(1+t^2) et en la calculant de Tan(-Pi/4) à Tan(Pi/4) je trouve 0
Mon intégrale à l'air bonne contrairement à la primitive que j'en déduit (expression de l' intégrale confirmée par Mathematica)
Pourrais-tu me dire ce que tu en penses?

Cordialement le fouineur

[Scorp]

Bonsoir Scorp et merci pour ta réponse rapide,

Effectivement,j'ai fait une erreur à l'endroit que tu indiques:il fallait calculer dx,on a:

dx=[2/(1+t^2)]*dt ceci corrigé,l'intégrale devient:

Intégale de Sqrt[(2*t^2)/(1+t^2)]*[2/(1+t^2)]*dt

Jusqu'ici, c'est très bien

dont je trouve comme primitive:-2*Sqrt(2)/Sqrt(1+t^2) et en la calculant de Tan(-Pi/4) à Tan(Pi/4) je trouve 0

Par contre, là il y a une erreur à mon avis. Selon moi tu a oublié qu'au numérateur on a un t² et non un t. En fait, j'ai l'impression que tu a pris la primitive de et non pas de comme il le faudrait.
Refait a nouveau ton calcul. Si tu n'est pas sûr de la primitive que tu obtient, rien de plus simple : tu redérive ta primitive et si tu retombe sur l'expression du début, alors c'est gagné.
O fait, tu dis : "en la calculant de Tan(-Pi/4) à Tan(Pi/4) je trouve 0". J'espère que tu a vu que c'était en fait l'intégrale entre -1 et 1 ( : c'est pas grand chose, mais ca évite d'alourdire encore plus l'écriture)
P.S : pourrais tu essayer d'utiliser le TEX (va voir ici si tu ne sais pas l'utiliser : http://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C...a:Formules_TeX) quand tu écrit de grosse intégrale ou primitive, ca facilitera la lecture. D'avance merci

[le fouineur]

Bonjour Scorp et merci pour ta réponse,

Après quelques heures d'efforts, j'ai finalement réussi à démontrer la valeur de l'intégrale proposée par minnolina....à savoir:


Mais après vérifiation minutieuse,il s'avère que je n'avais pas fait d'erreur dans le calcul de la fonction transformée par Il s'agit bien de:


ou il apparait la valeur absolue de t au numérateur,donc par parité de la nouvelle fonction à primitiver on en déduit que


Et pour trouver la primitive de cette nouvelle fonction,j'ai procédé après tatonnements à une intégration par parties,qui donne bien le résultat escompté.

En tous cas merci pour ton aide et j'espère à bientôt sur le forum

Cordialement le fouineur

[martini_bird]

Salut,

je ne sais pas si c'est le bon résultat, mais j'écrirais 4 au lieu de ...

Cordialement.

[le fouineur]

Bonjour martini_bird,

Oups!!,j'ai en effet fait une erreur de saisie,il fallait en effet lire:



Merci d'avoir signalé cette malencontreuse erreur

Cordialement le fouineur

[invite7eba5642]

bonjour tout le monde, je débute en matière d'intégrales et de primitives j'aurai donc une question très simple a vous posé: que vaut l'intégrale de racine de x?

merci d'avance

[pephy]

(2/3)(x)^3/2
bon... faudrait que je me mette au LaTeX