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une primitive à trouver



  1. #1
    tite.fleur

    Red face une primitive à trouver


    ------

    bonjour,
    j'ai un DM de maths à faire où il y a un exercice où il faut trouver les primitives de cette fonction : f(x)=1/ (x2+1). je précise que le 2 à côté du x est un exposant (je n'ai pas réussi à l'écrire comme je voulais).
    aidez-moi SVP, c'est la 1ère question de l'exercice ; si je n'ai pas cette primitive je ne peux plus rien faire après.
    merci, à+

    -----

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  3. #2
    smt

    Re : une primitive à trouver

    Bonjour,
    Je te donne un indice : dérive x->arctan(x)....

  4. #3
    tite.fleur

    Re : une primitive à trouver

    qu'est-ce que ça veut dire arctan (x)?

  5. #4
    smt

    Re : une primitive à trouver

    la fonction x->tan(x) est bijective sur ]-PI/2,PI/2[ on nomme sa reciproque arctan.Ainsi on definie

    R->]-PI/2,PI/2[
    x->arctan(x)

    qui est l'application que je souhaite que tu dérives.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    tite.fleur

    Re : une primitive à trouver

    je suis désolée mais, je ne connais pas cette fonction, je ne sais donc pas comment on la dérive. si tu veux bien, dis-moi comment tu fais pour la dériver, je voudrais savoir.
    merci

  8. #6
    smt

    Re : une primitive à trouver

    Question preleminaire : en quel classe est tu ?
    Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément.[BOILEAU]

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  10. #7
    tite.fleur

    Re : une primitive à trouver

    je suis en terminale S. C'est vrai, c'est peut-être bizarre que je ne connaisse pas cette fonction, mais je t'assure que je n'en ai jamais entendu parlé.

  11. #8
    smt

    Re : une primitive à trouver

    Le je ne me rappelle plus si en Term on voit cette formule

    dit moi si tu la connais.
    Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément.[BOILEAU]

  12. #9
    tite.fleur

    Re : une primitive à trouver

    non je ne la connais pas, on va peut-être voir ça plus tard dans l'année, je ne sais pas

  13. #10
    smt

    Re : une primitive à trouver

    Je suis désolé mais je ne vois comment faire autrement a part en intégrant dans les complexe est en utilisant la décomposition en élément simple qui ne fait pas parti du tout du programme du lycée.
    La seul solution est que tu prennes connaisance de la formule précédente.A mon sens c'est la seul façon de trouver une primitive de
    Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément.[BOILEAU]

  14. #11
    tite.fleur

    Re : une primitive à trouver

    non, en effet, je ne pense pas que tout ça soit au programme du lycée. En tout cas, je te remercie, je vais essayer de faire avec ce que tu m'as donné ; c'est très gentil à toi de t'être penché sur cette fonction, encore merci, à+

  15. #12
    smt

    Re : une primitive à trouver

    A+,et bonne continuation.
    Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément.[BOILEAU]

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  17. #13
    Liz

    Re : une primitive à trouver

    je suis en terminale S et je sais trouver la primitive de cette fonction....
    revoie ton cours sur le logarithme népérien.....
    bonne chance!

  18. #14
    Coincoin

    Re : une primitive à trouver

    Salut,
    je suis en terminale S et je sais trouver la primitive de cette fonction....
    revoie ton cours sur le logarithme népérien.....
    Tu peux expliquer comment tu fais ? Car une primitive de cette fonction est la fonction arctan (fonction réciproque de tan) qu'on ne voit qu'après le bac. Une autre solution est celle proposée par Smt :
    Je suis désolé mais je ne vois comment faire autrement a part en intégrant dans les complexe est en utilisant la décomposition en élément simple qui ne fait pas parti du tout du programme du lycée.
    Si tu n'as pas utilisé une de ces deux, tu t'es sans doute trompé (il ne faut pas mélanger et ...)
    Encore une victoire de Canard !

  19. #15
    Liz

    Re : une primitive à trouver

    effectivement je me suis trompée...desolée
    je pensais qu'on pouvait s'aider de ln mais je viens de verifier et ce n'est pas possible, j'avais mal consideré la fonction a etudier...
    sorry

  20. #16
    Josquin

    Re : une primitive à trouver

    Je confirme : j'étais en TS il y a 2 ans, j'ai inauguré les nouveaux programmes, et la fonction Arctan n'est pas au programme de Terminale, elle se voit dans le exclusivement supérieur. De même la formule qui donne la dérivée de la fonction réciproque n'est pas au programme de TS. Et le décomposition en éléments simples non plus... Et les intégrations dans les complexes non plus !!!

    Sinon pour la démo, ça se fait également par changement de variable dans l'intégrale (si ta variable d'intégration est t, tu poses t=tan(u)); Mais là encore, le changement de variable n'est pas au programme de terminale. Vous avez uniquement l'integration par partie comme formule, et là ca sert à rien...

    Alors normalement, tite.fleur, ton/ta prof n'a pas à te demander de calculer une primitive de 1/(x2 + 1). S'il l'a fait, il nourrit des ambitions un peu déraisonnées (et inutiles) sur ses élèves. Il faudrait que tu lui demandes ce qu'il cherche en posant des colles pareilles !!!

    Bon bonne chance alors !

    Josquin

  21. #17
    evariste_galois

    Re : une primitive à trouver

    meme si c'est pas au programme de term S, la méthode suivante peut t'aider:

    sachant que x²+1 a pour racine -i et i, on a x²+1=(x-i)(x+i).
    ensuite on cherche A et B tels que 1/((x-i)(x+i))=A/(x-i) + B/(x+i).
    on trouve A=i/2 et B=-i/2, soit donc 1/(x²+1)=i/2(x+i) - i/2(x-i).

    or on sait que les fonctions de la forme A/(x+B) où A et B sont constantes admettent pour primitives des fonctions de la forme A*ln(x+B).
    par contre je ne sais pas si l'intégration dans le champ complexe s'effectue de la meme manière que sur lR. en plus cette technique d'intégration n'est pas vraiment au programme de term S, mais elle peut faire l'objet d'un exercice!
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  22. #18
    Josquin

    Re : une primitive à trouver

    La technique de la décomposition en éléments simples n'est pas au programme, mais il n'est pas interdit de l'utiliser.

    Toutefoise, le problème est qu'on utilise tout un tas de propriétés des fonction complexes qui a priori doivent être démontrées. En terminale, on définit l'intégrale comme une aire, puis on la relie aux primitives. Quelle signification a une aire dans C, sachant qu'une courbe représentative d'une fonction complexe est forcément en 3D ??? En plus, comment peut on, sans avoir défini et démontré sans relâche des tonne de propriétés, utiliser un ln avec comme argument un nombre complexe, alors que ln est définit au départ uniquement sur R+* ???

    Les intégrations dans C obéissent à une théorie complexe (sans jeu de mot !) qu'il ne faut pas prendre à la légère. Il ne suffit pas de calquer des résultats de R dans C comme si de rien n'était. Si on commence par R, puis qu'on enchaîne sur C, c'est bien que ce n'est pas la même chose !!!

    Je pense qu'il vaut mieux admettre tout simplement que la primitive recherchée est Arctan, et puis basta, plutôt que de se lancer dans des démos absolument pas rigoureuses, voire fausses !

    A bon entendeur, salut !

    Josquin

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  24. #19
    tite.fleur

    Re : une primitive à trouver

    en effet, on ne me demande pas explicitement de calculer la primitive, tu as raison, ms j'étais persuader qu'il fallait le faire pour pouvoir continuer le problème (en effet, je ne vois pas du tout comment répondre à la question posée sans cette primitive). tant pis, comme tu le dis je demanderai à ma prof à la rentrée. En tout cas merci beaucoup.

  25. #20
    Josquin

    Re : une primitive à trouver

    C'est bien gentil, évariste, mais il faut commencer par définir le logarithme d'un nombre complexe !!! Et arriver à une solution f telle que f(tan(x))=x, c'est à dire à Arctan...
    Là, c'est plus du hors programme, ca a plus rien à voir avec une TS !!!

    Josquin

  26. #21
    Gwyddon

    Re : une primitive à trouver

    même pas du niveau premier cycle de l'enseignement supérieur...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  27. #22
    evariste_galois

    Re : une primitive à trouver

    Bien sur, la pseudo-méthode que j'ai exhibé n'est pas à prendre en considération, et d'ailleurs j'ai bien précisé que je la donnais à titre indicatif... .
    Ceci étant, on est pas obligé de se borner au programme de terminale S quand on fait des maths. rien n'empêche d'aller voir un peu plus loin, ne serait-ce que par curiosité.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  28. #23
    Gwyddon

    Re : une primitive à trouver

    on est d'accord, mais il est absolument faux de prendre le logarithme comme primitive de fonctions complexe du type 1/(x+i)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  29. #24
    Quinto

    Re : une primitive à trouver

    Ah bon, et pourquoi donc?

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  31. #25
    Gwyddon

    Re : une primitive à trouver

    Bon je me suis avancé un peu vite ; ce n'est peut-être pas faux, mais cela est loin d'être aussi évident.

    D'abord, le logarithme d'un complexe est quelque chose de difficile à manier, et je suis loin d'avoir toutes les connaissances à ce sujet qui n'est abordé qu'à partir de bac+3 ; tout ce que je sais c'est que l'on a pour

    Cela est donc loin d'être aussi évident !!

    Or si on veut définir une primitive de 1/(x+i) sans faire appel à l'analyse complexe, on peut se restreindre à un intervalle ]-1 ; 1[ et faire des séries entières :

    on a

    On va séparer pair/impair pour simplifier i^k, cela nous donne :


    On intègre alors, terme à terme sur le disque ouvert de convergence, c'est-à-dire [-1 ; 1 [ :



    Comme on connaît bien ses développements en série entière on reconnaît arctan et ln :



    A comparer avec la formule du début pour ln(z), je crois que ce n'est pas tout à fait pareil ; en tout cas, le résultat ci-dessus est correct et absolument rigoureux sur ]-1 ; 1[
    Dernière modification par Gwyddon ; 24/02/2005 à 09h01. Motif: faute de frappe dans une formule
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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