Solution analytique d'une équation différentielle ordinaire

**coussin** · 27/12/2024, 21h07

Bonjour à tous

Je suis à la recherche d'une éventuelle solution analytique pour les fonctions propres et valeurs propres de l'opérateur différentielle $-\frac{d^2}{d \theta ^2} + \frac{\ell_x (\ell_x + 1)}{\cos ^2 \theta} + \frac{\ell_y (\ell_y + 1)}{\sin ^2 \theta}$ pour $\theta \in [0 , \pi /2]$ soumis à la contrainte que les fonctions propres s'annulent en $\theta=0$ et $\theta= \pi /2$ .

En d'autres termes, je voudrait résoudre analytiquement $-\frac{d^2 f(\theta)}{d \theta ^2} + \frac{\ell_x (\ell_x + 1)}{\cos ^2 \theta} f(\theta) + \frac{\ell_y (\ell_y + 1)}{\sin ^2 \theta} f(\theta) = \lambda f(\theta)$ et avoir une possible expression pour les $f(\theta)$ et les $\lambda$ .

J'ai demandé à Mathematica mais ça n'a rien donné (peut-être à cause des singularités en 0 et pi/2 ?). Bien sûr, le cas trivial $\ell_x = \ell_y = 0$ est fait

Par contre, j'ai bien sûr des solutions numériques et c'est là que c'est un peu intéressant. Numériquement, les $f(\theta)$ sont ce qu'elles sont... Mais j'ai une expression pour les valeurs propres : on a tout simplement $\lambda = n^2$ avec $n = \ell_x + \ell_y +2, \ell_x + \ell_y +4, \ell_x + \ell_y +6, ...$

Et en fait c'est la raison pour laquelle je lance ce sujet : les valeurs propres sont "si simples" que peut-être quelque chose m'échappe pour les $f(\theta)$ ...

Merci d'avance

**coussin** · 27/12/2024, 21h38

J'ai oublié de dire le contexte, qui peut être utile : c'est la résolution de l'équation de Helmholtz en 2D, en coordonnées polaires $(r,\theta)$ (seulement dans le quadrant $x, y > 0$ d'où $0 < \theta < \pi / 2$ ). On fait la séparation des variables et c'est la partie angulaire ici. Les valeurs propres angulaires $\lambda$ (plutôt les $n$ ) seront les ordres des fonctions de Bessel en $r$ . Ce n'est donc pas très étonnant d'avoir des valeurs "simples", entières, pour les valeurs de $n$ ...

**ThM55** · 28/12/2024, 09h58

Bonjour, as-tu essayé de faire un développement en série potentielle et appliquer la méthode de Frobenius? Pour ne pas s'embêter avec les fonctions trigonométriques, on peut les éliminer en faisant $x=sin(\theta)$ et en écrivant l'équation pour une fonction $F(x) = f(\theta)$ . Après quelques manips algébriques, j'obtiens une équation avec des coefficients rationnels, en principe traitable par Frobenius, mais tout de même plus compliquée que les exemples classiques.

**coussin** · 28/12/2024, 11h46

Merci de ta réponse

Je ne connais pas la méthode que tu proposes; je vais me renseigner...

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**ThM55** · 28/12/2024, 12h32

Cette méthode s'applique aux équations de la forme $P(x)y''(x)+Q(x)y'(x)+R(x)y = 0$ où P, Q et R sont des polynômes, des fonctions rationnelles ou des fonctions analytiques qui admettent un développement en série de puissances. L'idée est d'écrire y(x) sous la forme d'une telle série par exemple $y(x) = x^s(a_0+a_1x+a_2x^2...)$ . En substituant dans l'équation et en regroupant les termes de même degré, on obtient des relations qui lient les coefficients $a_n$ . Si on a la chance de tomber sur des relations de récurrence, et si les conditions aux limites sont aisées à exprimer dans ces termes, on peut obtenir une formule générale pour les $a_n$ . L'exemple le plus connu, c'est les fonctions de Bessel et il me semble que ton équation, après la substitution $x=sin(\theta)$ , est similaire à l'équation de Bessel, mais avec des coefficients de degré supérieur (pour Bessel c'est des polynômes de degré 2).

**coussin** · 28/12/2024, 13h23

D'accord, je vais voir...
La difficulté, je crois, est le mélange entre $\theta$ et les fonctions trig de $\theta$ .

Par exemple, dans un voisinage de $\theta = 0$ , l'équation est dominée par les termes $-\frac{d^2}{d \theta^2} + \frac{1}{\sin ^2 \theta}$ . Or, si c'était $-\frac{d^2}{d \theta^2} + \frac{1}{\theta^2}$ , ce serait l'équation pour les fonctions de Ricatti-Bessel...

Bien sûr, au voisinage de $\theta = 0$ , on a $\sin \theta \approx \theta$ . Ça veut dire que les solutions analytiques, si elles existent, tendent vers des fonctions de Ricatti-Bessel pour $\theta \to 0$ ...

Ensuite, il est aussi possible que des solutions analytiques en termes de fonctions simples n'existent pas. Comme pour l'équation d'un pendule hors de l'approximation des petits angles...

**ThM55** · 28/12/2024, 14h11

Comme je l'ai indiqué, on peut passer à des fonction rationnelles en posant $x=sin(\theta)$ et réécrire l'équation pour la fonction $F(x)=f(\theta(x))$ .
Sans relecture de mes calculs faits assez vite, j'obtiens l'équation suivante

$-F''(x)-x^3(1-x^2)F'(x)+[(l_x(l_x+A)x^2+l_y(l_y+1)(1-x^2)]F(x) = \lambda x^2(1-x^2)F(x)$ .

(en supposant 0 < x < 1).

Je pense que la vraie difficulté est d'imposer les conditions aux limites, qui deviennent $F(0)=F(1)=0$ .

Mais avec cette méthode il n'y a aucune garantie d'obtenir des fonctions simples ou connues. On est même au delà de l'équation hypergéométrique. Et il n'est pas certain que la méthode fonctionne (i.e. donne des équations de récurrence compatibles avec les conditions aux limites et une série avec rayon de convergence positif). Je n'ai pas commencé les calculs, j'estime que cela prendrait plusieurs heures.

**coussin** · 28/12/2024, 14h51

En tout cas, merci pour ta réponse

**coussin** · 29/12/2024, 12h13

Alors, j'ai progressé

Mathematica n'est pas totalement inutile : puisque j'ai une expression pour les valeurs propres $\lambda$ (bien que trouvé numériquement), je peux injecter ces valeurs de $\lambda$ et demander à Mathematica de résoudre. Et ça marche pas mal. Il faut que je le fasse au cas par cas, en donnant des valeurs de $\ell_x$ et $\ell_y$ , mais j'obtiens des formules explicites. Ça fait apparemment intervenir des polynômes associés de Legendre de deuxième espèce $Q_\lambda ^ \mu (\cos \theta)$ d'ordres demi-entiers...
Je vais voir si je "devine" des tendances pour avoir des expressions générales en fonction de $\ell_x$ et $\ell_y$ ...

**coussin** · 10/01/2025, 18h37

Alors, je conclue ce sujet : les solutions sont en fait des polynômes de Jacobi

Après quelques changements de variables, ça peut se voir dans l'équation (6) de ce lien : https://mathworld.wolfram.com/Jacobi...lEquation.html

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