Une nouvelle identité reliant la somme de trois carrés à un carré parfait.

[DDRN]

Titre*: Une nouvelle identité reliant la somme de trois carrés à un carré parfait.

Résumé*:

dans cet article, je présente une identité mathématique simple qui génère systématiquement des quadruples de nombres distincts satisfaisant l’équation diophantienne de la forme*:

a² + b² + c² = d²

A ma connaissance et d’après mes recherches effectuées, cette identité n’a pas encore été répertoriée sous cette forme spécifique dans la littérature mathématique.

Introduction*:

Les triplets de Pythagore (a, b, c) vérifiant a² + b² = c² sont bien connus en mathématiques. Toutefois, la recherche des quadruples de la forme a² + b² + c² = d² est un sujet moins exploré. Cet article propose une nouvelle identité permettant de générer directement une infinité de tels quadruples.

Identité découverte*:

Je propose la relation suivante*:

x² + (x+1)² + (x²+x)² = (x² + x +1)²

avec x un entier positif.

Sous cette forme, l’expression a²+b²+c² = d² se définiraient comme suit*:
a² = x²
b² = (x+1)²
c² = (x²+x)²
d² = (x²+x+1)²

Démonstration d’égalité*:

x² + (x + 1)² + (x² + x)²
= x² + (x²+2x+1) + (x⁴ 2x³ x²)
= x⁴ 2x³ + 2x² +2x +1
= x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1
= x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1

(x² + x + 1)²
=x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1

x² + (x+1)² + (x²+x)² est bien égal à (x² + x +1)²

Exemples*:

- Pour x=1
1²+(1+1)²+(1²+1)² = (1²+1+1)²
⇒ 1+2²+2² = 3²
soit 1+4+4 = 9 (ce qui est bien un carré parfait)

- Pour x=2
2²+(2+1)²+(2²+2)² = (2²+2+1)²
⇒ 4+3²+6²=7²
soit 4+9+36 = 49 (ce qui est bien un carré parfait)

- Pour x=3
3²+(3+1)²+(3²+3)² = (3²+3+1)²
⇒ 9+4²+12² = 13²
soit 9+16+144 = 169 (ce qui est bien un carré parfait)

Résolution inverse : calcul de x en fonction de d
Dans certains cas, au lieu de chercher le carré parfait « d² » à partir d’un «*x*» on peut vouloir retrouver «*x*» en connaissant «*d*». Cette équation peut être résolue en inversant la relation :
(x²+x+1)² = d²
En prenant la racine des deux côtés on obtient :
(x²+x+1) =d
En appliquant la formule du discriminant*: Δ = 4d−3, on trouve les solutions suivantes :
Pour les solutions réelles :
x = ((- 1) ± √(4d-3)) / 2

Pour les solutions complexes (si 4d−3 < 0) :
x = (-1/2) ± i √(3+4d)) / 2

Cette approche permet donc d’identifier rapidement les valeurs de «*x*» qui génèrent un quadruple de la forme a²+b²+c² =d², y compris dans le domaine des nombres complexes.
Discussion et implication*:

Cette identité permet de générer une infinité de quadruples vérifiant a²+b²+c²=d² sans avoir à chercher ces solutions au hasard ou de recourir à des calculs complexes. Cette découverte pourrait avoir des applications en théorie des nombres, en algèbre et en géométrie. Il serait intéressant d’examiner ses liens avec d’autres formules connues et d’explorer d’éventuelles généralisations.


Conclusion*:

Cette identité fournit une méthode simple et systématique pour générer des quadruples de Pythagore généralisés. Je serais ravi d’échanger avec la communauté mathématique pour approfondir cette découverte et explorer ses implications.

Appel à discussion*:

Si cette formule vous semble nouvelle ou si vous connaissez des travaux similaires, n’hésitez pas à partager vos observations et références.

Auteur*: ****
Date*: 04 février 2025
***@gmail.com
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[skeptikos]

Bonjour,
Cette formule que je ne connaissait pas est en effet intéressante pour donner des parallélépipèdes à arêtes en nombres entiers et avec la grande diagonale également entière. Mais aidera-t-elle à résoudre le problème du cuboïde parfait?
Il faudrait aussi que les petites diagonales soient également en nombres entiers.
@+

[DDRN]

Bonjour,
J’ai découvert cette formule par mes propres recherches. Comme je le dis, je ne sais pas si elle est déjà répertoriée dans la littérature Mathématiques ou si j’en suis «*l’inventeur*». C’est pour cela que je publie aux fins de connaître l’avis d’autres personnes.

[gg0]

Bonjour.

Jolie remarque ! Je ne sais pas si elle est vraiment nouvelle, de très nombreux exercices de factorisation ont existé depuis au moins 2 siècles, l'un d'eux pourrait avoir porté sur la factorisation de x² + (x + 1)² + (x² + x)².
Attention à ne pas généraliser trop vite :
"Cette approche permet donc d’identifier rapidement les valeurs de «*x*» qui génèrent un quadruple de la forme a²+b²+c² =d²" ?? En fait, ça ne donne que les décompositions de la forme x² + (x + 1)² + (x² + x)² d'un d² où on a posé d=x²+x+1. En fait, un réel d étant donné, il y a une infinité de réels a, b, c et d tels que a²+b²+c²=d².
Et si c'est pour une décomposition en entiers, ça ne marche généralement pas, vu la forme de x.

Donc belle découverte personnelle, mais pour l'instant je ne vois pas d'application. Oui, ça permet de fabriquer des quadruplets, mais pas tous, par exemple pas 1,4,8,9 ou 2,4,4,6; alors que 1²+4²+8²=9² et 2²+4²+4²=6².

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[DDRN]

Tout à fait mais, comme je l'explique, on peut également trouver x si on veut que d soit un nombre particulier. puisque dans ce cas x = ((- 1) ± √(4d-3)) / 2. Ça pourrait avoir une utilité dans des domaines comme la cryptographie par exemple.

Pour d = 1 on aura x = 0
Pour d = 2 on aura x = Phi-1 (ce qui est intéressant puisqu’on peut trouver une relation entre PHI et √2)
Pour d = 4 on aura x= (-1±√13)/2
Etc…

[gg0]

Heu ... quel intérêt pour la cryptographie ?