fonction zeta

[Prof]

depuis j'essais de comprendre mais je ne vois pas en quoi la fonction zeta de riemann aiderai pour savoir la distribution des nombre premier

merci d'avance
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[ThM55]

Au départ il y a une relation trouvée par Euler, valable pour des z de partie réelle supérieure à 1. Elle égale la série définissant la fonction zeta dans ce domaine à un produit infini qui ne contient que les nombres premiers. Cela donne un lien entre cette fonction et les nombres premiers.

La relation est la suivante:



Où p parcourt les nombres premiers.

Le principe de la démonstration est qu'en effectuant le produit à droite on obtient de manière unique 1 sur chaque produit de facteurs premiers avec tous les exposants entiers, donc tous les inverses des entiers (à la puissance z).

Cela donne déjà un indice que cette fonction est au moins reliée aux nombres premiers. Une série de théorèmes d'analyse complexe raffinent de plus en plus ce lien pour aboutir à la répartition connue.

[MissJenny]

il faut commencer par prolonger analytiquement la fonction définie par la série à tout le plan complexe. D'ailleurs on s'intéresse aux zéros de cette fonction et l'écriture sous forme de produit montre qu'il n'y a pas de zéros dans le demi-plan Re(z)>1

[ThM55]

Oui, le prolongement analytique de zeta sur tous les nombres complexes est l'idée de Riemann en 1859. Pour arriver au théorème de répartition d'Hadamard et La Vallée-Poussin, il "suffit" de montrer que cette fonction analytique prolongée n'a pas de zéro sur la droite Re(z)=1. C'est ce que ces deux mathématiciens ont établi indépendamment, et ils en ont déduit le théorème de répartition en x/log(x) (avant eux, Chebyshev avait établi par des moyens plus élémentaires que si a une limite quand x tend vers l'infini, alors cette limite vaut 1; la répartition en x/log(x) avait été conjecturée empiriquement à partir des tables par Gauss et par Legendre). En établissant une formule qui décrit une sorte de symétrie de zeta autour de la droite Re(z)=1/2, Riemann avait conjecturé quelque chose de plus fort, à savoir que tous les zéros non triviaux de zeta sont sur cette droite (donc forcément aucun sur Re(z)=1). Ce n'est pas encore démontré à ce jour.

Toutefois, en 1949 deux autres mathématiciens, Erdös et Selberg, ont publié une preuve "élémentaire" du théorème de répartition. Par élémentaire, on entend qu'ils n'utilisent pas les résultats de l'analyse complexe (prolongement analytique, résidus, etc) mais seulement les propriétés de la fonction logarithme, des fonctions arithmétiques multiplicatives, et en général de l'analyse sur R. Cela n'enlève toutefois rien à l'intérêt de la fonction zeta pour la répartition des nombres premiers.

[A voir en vidéo sur Futura]