Groupe de torsion.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Soit et deux groupes abéliens.
Si on suppose que et sont isomorphes, se peut il être que l'un des deux groupes soit de torsion et l'autre sans torsion ?

Merci d'avance.
-----

[Anonyme007]

Désolé pour avoir ouvert ce fil inutilement. La réponse s'avère être trivial.
En effet,
Supposons que et sont isomorphes.
Alors, il existe un isomorphisme de groupes abéliens .
Par absurde, supposons que est de torsion et sans torsion.
Alors, il existe non nul, il existe non nul, tel que, .
D'où, . Ce qui est absurde.
D'où, ou bien et sont de tous deux de torsion, ou bien et sont tous deux sans torsion.

Cordialement.

[gg0]

Bravo !
Pour une fois, tu vas jusqu'au bout de ta question.

[Médiat]

@Anonyme007 : Est-ce votre question ne viendrait pas du fait que "les groupes de torsion" n'est pas une théorie (du premier ordre) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

D'où, ou bien et sont de tous deux de torsion, ou bien et sont tous deux sans torsion.

un groupe peut être ni de torsion ni sans torsion.

[gg0]

Oui, j'ai parlé un peu vite. la conclusion est que un groupe isomorphe à un groupe sans torsion est aussi sans torsion. Et c'est bien "trivial".

[Anonyme007]

Bonjour,

Bravo !
Pour une fois, tu vas jusqu'au bout de ta question.

@Anonyme007 : Est-ce votre question ne viendrait pas du fait que "les groupes de torsion" n'est pas une théorie (du premier ordre) ?

Je pense que tu as raison. La théorie des groupes de torsion utilise des quantificateurs, outre pour les individus, pour les relations aussi. Ici, les relations sont . Donc, c'est une théorie de second ordre.

un groupe peut être ni de torsion ni sans torsion.

Oui, tu as raison. Merci pour l'alerte.

[GBZM]

Bonsoir,
La raison invoquée par Anonyme007 pour dire que la théorie des groupes de torsion n'est pas une théorie du premier ordre est complètement farfelue.
En fait, on a besoin pour l'axiomatiser d'une disjonction infinie (indexée par les entiers naturels).

[Anonyme007]

Bonsoir GBZM,

Bonsoir,
La raison invoquée par Anonyme007 pour dire que la théorie des groupes de torsion n'est pas une théorie du premier ordre est complètement farfelue.
En fait, on a besoin pour l'axiomatiser d'une disjonction infinie (indexée par les entiers naturels).

On peut axiomatiser d'une disjonction infinie, puisque est infini. Où est le problème ?

[GBZM]

N'écris pas n'importe quoi, s'il te plait.

[Anonyme007]

Je n'écris pas n'importe quoi. J'essaye de te dire que ce que tu écris n'est pas clair ni étayé.

[Médiat]

Pour compléter ce qu'écrit GBZM : écrire la théorie des groupes dont tous les éléments sont d'ordre 12 est facile, il suffit d'écrire les axiomes des groupes et d'ajouter on peut écrire facilement la théorie des groupes dont tous les élément sont d'ordre au plus 12 (quelques "OR" font le boulot), mais pour écrire que tous les éléments sont d'ordre fini, il faut une infinité de "OR"

[Anonyme007]

Ah d'accord. Merci Médiat.
Et si la théorie des groupes a besoin d'une infinité d'axiomes pour être formulée, elle ne peut pas être une théorie d'ordre supérieur ? Pourquoi ?

[MissJenny]

question naïve : qu'est-ce que ça fait en pratique, le fait que ce n'est pas une théorie du premier ordre?

[MissJenny]

je précise ma pensée (si c'est une pensée) : les maths ne sont pas mon domaine d'expertise mais ça fait longtemps que je m'y intéresse et j'ai lu pas mal d'ouvrages de mathématiques. Parfois (très rarement en fait), l'auteur mentionne au début qu'il se placera dans le cadre de ZFC par exemple, mais jamais il n'est fait référence ni au type de logique employé dans les raisonnements, ni au point soulevé ici : l'ordre de la théorie en question. Donc soit ça n'a aucune importance, soit toutes les théories ont le même ordre (?)

[Médiat]

Et si la théorie des groupes a besoin d'une infinité d'axiomes pour être formulée, elle ne peut pas être une théorie d'ordre supérieur ? Pourquoi ?

Le problème n'est pas d'avoir une infinité d'axiomes (la théorie des groupes sans torsion est bien une théorie du premier ordre, avec une infinité d'axiomes), et rien n'empêche qu'elle soit axiomatisable à un ordre supérieur

[Médiat]

@MissJenny : quand on dit ZFC, on implique Logique classique du 1er ordre, et quand on ne dit rien, c'est aussi le cas, sinon la liste des axiomes donne la réponse sur l'ordre. S'il s'agit d'intuitionnisme, c'est toujours clair. (dit ou non).

Que les groupes de torsion ne soit pas une théorie du 1er ordre veut dire que je ne peux pas lui appliquer les théorèmes de cette logique.

[MissJenny]

Que les groupes de torsion ne soit pas une théorie du 1er ordre veut dire que je ne peux pas lui appliquer les théorèmes de cette logique.

mais justement je crois n'avoir jamais vu dans un cours de mathématique une référence à ces théorèmes. Si on les applique c'est implicitement (ou alors je n'ai pas compris, c'est une possibilité...)

[Médiat]

De très beaux exemples : Une preuve modèle-théorique du théorème d'Ax-Grothendieck

[MissJenny]

mmmh il va me falloir du temps pour digérer ça...

[Médiat]

J'ajoute pour le fun, que si la "théorie" des groupes de torsion n'est pas FOL (first order logic), la théorie des groupes de torsion dans lesquels il existe au moins un élément de chaque ordre est bien FOL