Besoin de développeurs pour vérifier une conjecture

[df974]

Bonjour,

je fais appel à ceux qui ont des talents de développeur pour vérifier numériquement sur un grand nombre de valeurs la conjecture suivante :

Pour tout k entier, n = (10 * k + 2)^2 - 5 se décompose toujours en produit de nombres premiers se terminant par 1 et 9, et jamais se terminant par 7 ou 3.

Exemples : 12^2 - 5 = 1 * 139; 1132^2 - 5 = 191 * 6709; 123532^2 - 5 = 239 * 4231 * 15091
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[gg0]

Bonjour.

J'ai testé ta conjecture pour k allant de 1 à 100 (plus quelques séries de cas avec k nettement plus grand, par exemple, aujourd'hui, au hasard, pour k variant de 5214 à 5200). Elle est à chaque fois vérifiée. Une propriété intrigante, d'autant qu'elle est liée à la base de numération choisie (le système décimal).
Cependant, si elle est vraie, ça ne servira à rien de tester systématiquement, on ne traitera que des "petites valeurs". Même si on la teste pour k allant de 1 à 10 milliards, ça ne prouvera rien d'autre que "elle est vraie pour k allant de 1 à 10 milliards". Ce qui n'a pas grand intérêt mathématique (déjà, je ne suis pas sûr de son intérêt général). Car cette propriété peut n'avoir de contre exemple que pour k bien plus grand, par exemple k=10^(10 000 000 000). Et on ne testera pas cette valeur.
Donc il manque plutôt une preuve. J'avoue que je ne vois pas comment faire cette preuve.
En tout cas, c'est intrigant.

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour,
J'ai testé jusqu'à k=100 000.

1 : 115689
9 : 124158

Pas de 3 et 7.

C'est très intrigant.

[stefjm]

de 100000 à 200000

Counter({9: 128051, 1: 121393})

import sympy as sp
from collections import Counter

N1 = 100000
N2 = 200000
digits = []

for k in range(N1, N2 + 1):
    n = (10*k + 2)**2 - 5

    factors = sp.factorint(n)

    for p in factors:
        digits.append(p % 10)

count = Counter(digits)

print(count)

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

ça fait penser au théorème de Fermat qui dit qu'un nombre premier est la somme de deux carrés si et seulement si il est de la forme 4k+1 (et pas 4k-1). Je sais qu'il existe des généralisations dues à Euler, mais je ne sais pas si quelqu'un s'est penché sur les nombres premiers de la forme 10k +/- 1 vs les nombres premiers de la forme 10k +/- 3

[stefjm]

Je parie que la conjecture est vraie.

Il y a de la réciprocité quadratique dans l'air...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de...A9_quadratique

[df974]

Bonjour,

merci pour vos retours, ça fait plaisir de voir que je ne suis pas le seul à être intrigué.

Une autre propriété intéressante : la formule donne beaucoup de nombres premiers (comme 12^2 - 5 = 1 * 139).

Etant nul en programmation, serait possible de me transmettre dans un fichier une liste des nombres et de leur décomposition en facteurs premiers ?

J'étudierai les pistes que vous m'avez transmises. Je vous transmettrai également le fruit des recherches sur le sujet que j'effectue depuis pas mal de temps.

Sans trop m'emballer, je me dis que cette conjecture, si elle est confirmée pour des valeurs encore plus élevées, pourrait motiver des recherches de démonstration potentiellement utiles pour comprendre la répartition des nombres premiers (allez je m'emballe , un peu du type conjecture de Goldbach).

NB : n = (10 * k - 2)^2 - 5 a les même caractéristiques

[gg0]

Bonjour,

Sans trop m'emballer, je me dis que cette conjecture, si elle est confirmée pour des valeurs encore plus élevées, pourrait motiver des recherches de démonstration potentiellement utiles pour comprendre la répartition des nombres premiers (allez je m'emballe , un peu du type conjecture de Goldbach).

J'en doute fort, car elle concerne l'écriture décimale, alors que les conjectures utiles sont indépendantes du mode de' représentation des entiers (en binaire, 101 est aussi premier).

[pm42]

J'ai voulu faire tourner en plus massif, j'ai donc demandé à Claude Code de me faire une architecture. D'après lui pas besoin :

On pose et , donc .
1) On écarte 2 et 5.
On a , donc et : n n'est pas divisible par 5. De plus a est pair, donc est impair : n n'est pas divisible par 2. Tout facteur premier p de n se termine donc par 1, 3, 7 ou 9.
2) Le point clé : 5 est un carré modulo p.
Soit p un facteur premier de n (p impair, p différent de 5). Comme p divise , on a : 5 est un résidu quadratique modulo p.
3) Réciprocité quadratique.
Comme , la loi de réciprocité quadratique donne, sans changement de signe :

Or les carrés non nuls modulo 5 sont . Donc 5 est un carré modulo p si et seulement si ou , c'est-à-dire .
4) Traduction en dernier chiffre.
p finit par 1 => (carré, OK)
p finit par 9 => (carré, OK)
p finit par 3 => (non-carré)
p finit par 7 => (non-carré)
Un premier finissant par 3 ou 7 rendrait 5 non-carré modulo p, ce qui contredit . C'est donc impossible.
Conclusion. Tout facteur premier de n se termine par 1 ou 9, jamais par 3 ni 7, et ceci pour tout entier k. CQFD.
Remarque : le "-5" n'est pas magique par son chiffre, mais parce que — c'est ce qui rend l'équivalence aussi propre. Aucun balayage numérique ne pourrait "prouver" l'énoncé (il resterait toujours une infinité de k), alors que la réciprocité le règle d'un coup.

A vérifier. J'ai demandé au modèle le plus récent, Fable de contrôler et il dit que c'est bon mais j'ai perdu l'habitude de réfléchir

[stefjm]

Jolie rédaction et trop rapide pour moi.

[Biname]

Salut,
C'est démontré, se termine toujours par 1 ou 9

Cliquer pour voir la démo IA :

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Code python qui cherche un contre exemple et n'en trouvera jamais

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from sympy import factorint

for k in range(1, 100001):
    if k % 1000 == 1:
        print(k)     
    n = (10 * k + 2) ** 2 - 5
    for p in factorint(n):
        if p % 10 not in (1, 9):
            print(f"Exception trouvée : k={k}, n={n}, facteur={p}")
            break
else:
    print("Tous les facteurs se terminent par 1 ou 9.")

input("Appuyez sur Entrée pour quitter...")