Objets définis par plongement.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

- Un groupe algébrique est unipotent s'il est isomorphe à un sous groupe algébrique de pour un certain .
- Un groupe algébrique est trigonalisable s'il est isomorphe à un sous groupe de pour un certain .
- Un groupe algébrique est linéaire isomorphe à un sous groupe fermé de pour un certain entier .
- Une - algèbre est une algèbre d'opérateurs, si elle est isométrique à une sous - algèbre de l'algèbre pour un certain espace de Hilbert séparable .
- Une représentation unitaire d'un groupe compact est une représentation isomorphe à une sous-représentation de la représentation régulière de l'espace de Hilbert .
- Un - module est projectif s'il est isomorphe à un sous module d'un module libre pour un certain .
- Une catégorie est un topos si elle est isomorphe à une sous catégorie de qui est la catégorie des foncteurs, pour une certaine catégorie .

Quant est ce qu'on définit un objet mathématique en la plongeant dans un objet canonique plus large, comme c'est le das des objets définis dans les exemples ci-dessus ? Quant cela devient-il nécessaire et naturel ( i.e, canonique ) ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour à tous,

- Un groupe algébrique est unipotent s'il est isomorphe à un sous groupe algébrique de pour un certain .
Merci d'avance.

Ce n'est pas la définition de base d'un groupe unipotent, mais un théorème. Ta question perd son sens.

[Anonyme007]

Ce ne sont pas des théorèmes, mais bien des définitions.

[gg0]

Plutôt une redéfinition qui perd la signification du mot (voir Wikipédia, le début). C'est pratique quand on veut frimer avec des mots savants.
Dans certains cadres, c'est pratique, mais on a déjà fortement oublié l'origine du concept.
En fait, tu es capable de répondre toi-même à tes questions :
"Quant est ce qu'on définit un objet mathématique en la plongeant dans un objet canonique plus large ?" Quand c'est pratique pour l'exposition de la notion dans le cadre choisi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

il y a des objets qu'on ne peut définir que comme partie d'un autre objet. Par exemple un idéal.

[gg0]

Oui, ou un sous-groupe.
Mais l'Anonyme parle de plongement.

Cordialement.

[MissJenny]

un sous-groupe c'est juste un groupe, on peut le définir directement sans parler du "sur-groupe". Alors qu'un idéal d'un anneau ne peut pas être défini sans référence à l'anneau. Et d'ailleurs si on a des anneaux imbriqués, A sous-anneau de B, un idéal de A n'est pas forcément un idéal de B.

[gg0]

Désolé, je ne vois pas la différence : Un sous-groupe, c'est un sous-groupe de ... et un idéal, c'est un idéal de ...
Dans les deux cas, il faut une référence (le groupe ou l'anneau).
Mais ça nous éloigne de la question initiale.

[MissJenny]

pour moi c'est la même question. Un plongement qu'est-ce d'autre qu'une injection?

[Anonyme007]

Un plongement est une injection qui préserve une structure géométrique qui dépend de la catégorie enrichie à laquelle appartient ce plongement, comme, , qui désigne la catégorie des variétés différentielles qui est une catégorie géométrique.

Dans la catégorie des ensembles, , les plongements sont exactement les injections, c'est à dire, les plongements sont les injections sans structure existante dans à préserver. ( injections préservant une structure triviale ).

Dans une catégorie quelconque, , un plongement est un monomorphisme ( C'est juste une terminologie, qui veut dire la même chose, qu'une injection préservant la structure de ).