double connexité d'un disque troué

[Quinto]

Salut,
je me suis posé la question suivante et la réponse pourrait éventuellement faire l'objet d'un contre exemple dans mon mémoire. Malheureusement je n'ai pas trouvé la réponse alors je vous soumet le problème:

Soit D le disque unité
Supposons que l'on prive à D, les points du cercle d'argument rationnel si le rayon est rationnel et les points du cercle d'argument irationnel, si le rayon du disque est irationnel et que l'on fasse ca pour chaque cercle de rayon 1/2>r>0 par exemple
Est ce que le domaine que l'on trouve est doublement connexe ou plus?
On peut alors poser cette question:
ce que l'on enleve est il connexe ou totalement disconnexe?

Je n'ai pas trop d'idée ni d'intuition, les deux possibilités me semblent avoir du sens.

Si vous avez des idées je serai preneur.
Merci d'avance.
Quinto
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[inviteae1ed006]

je suis pas sur d'avoir compris, tu dis qu'on enlève les points de D(0;1/2) qui ont à la fois un argument et un module rationnel ou alors à la fois un argument et un module irrationnel...c'est ça ?

[Quinto]

Salut,
effectivement, en des termes plus clairs, c'est ce que je fais.

[inviteb47fe896]

Sur un cercle, que le rayon soit rationnel ou irrationnel, les points d'argument rationnel forment un ensemble "dense" ; sur ce même cercle il en est de même pour les points d'argument irrationnel. C'est donc tout l'intérieur du cercle qui est concerné par la connexité puisqu'alors on obtient des ensembles qui sont denses dans le cercle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

ce que l'on enleve est il connexe ou totalement disconnexe?

Si c'était connexe, on aurait des parties à la fois ouvertes et fermées. Or il me semble que les seules parties fermés en sont les réunions finies de points. Donc je dirais totalement disconnexe.

Sinon pour la simple connexité, tu n'as pas plutôt besoin de connexité par arcs ?

Cordialement.

PS : pour un disque troué, c'est une vraie passoire !

[inviteb47fe896]

Effectivement les ensembles denses dans le "cercle" n'ont aucun point commun et sont séparés : le cercle est totalement disconnexe.

[invite35452583]

Bonjour,
ce qu'on retire est totalement disconnexe.
En effet, plaçons nous d'abord sur un rectangle ]0;1/2]x[0;2pi[ par un homéo plus classique y'a pas.(Je suppose que l'argument est choisi sur cet intervalle : être ou non rationnel en dépend pour certains angles).
Ce qui reste (notons le E et notons E' le complémentaire donc ce que l'on retire) après cette transformation sont les points dont les coordonnées sont soit toutes deux rationnnelles soit toutes deux irrationnelles.
Existe-t-il des courbes qui soient entièrement comprises dans E ? Oui et même des sympathiques : des segments.
En effet, à partir d'un point à deux coordonnées rationnelles, il suffit qu'un coefficient directeur soit lui aussi à double coordonnées rationnelles pour être entièrement inclus dans E.
A partir de là, on peut tracer des triangles dans E aussi petits que l'on veut autour des points de E' ce qui permet de l'isoler de l'ensemble des autres points de E'. E' est donc totalement disconnexe.

E est-il connexe ? oui :
des segments du type ci-dessus recouvrent une partie dense (les points de Q² le sont déjà). Une fonction continue de E dans un discret est donc constante sur un sous-espace dense de E donc constante.
E est-il connexe par arcs ? Je ne sais pas mais j'ai l'impression que non.

[inviteb47fe896]

Je reviens sur ce problème dont l'énoncé n'a pas été saisi d'emblée. Il apparaît maintenant que ce sont des points (voir la définition ) d'un seul cercle intérieur qui sont retirés ; alors l'ensemble restant n'est plus simplement connexe mais il reste néanmoins connexe ; la preuve des segments possibles à "travers" le "cercle" restant est suffisant pour convaincre, il reste à l'établir logiquement.

[Quinto]

Merci à tous d'avoir participé.
La réponse d'homotope est je pense, celle que j'attendais.
A+

[martini_bird]

Salut,

La réponse d'homotope est je pense, celle que j'attendais.

Disons que c'est le seul qui ait apporté une réponse juste...

Cordialement.

[invite35452583]

Merci à tous d'avoir participé.
La réponse d'homotope est je pense, celle que j'attendais.
A+

Oui en faisant attention que j'ai confondu partie retirée et partie restante.
La partie retirée "QxQ U (R-Q)x(R-Q)" est connexe (avec une sous partie connexe par arcs).
La partie restante "Qx(R-Q) U (R-Q)xQ" est totalement disconnexe.
Et chose amusante : les trois sous-parties E1=QxQ, E2=(R-Q)x(R-Q), E3=(R-Q)xQ U Qx(R-Q) sont telles que :
1) elles sont totalement disconnexes :
E3 c'est vu ;
E1 c'est assez évident car dénombrable : d'un point n'appartenant pas à E1 il passe une infinité continue de droites dont on ne retire qu'une quantité dénombrable (celles passant par un point ou plus de E1) donc des segments à la pelle ;
E2 on sépare facilement les points de E2 par des rectangles dont les côtés sont soit horizontaux soit verticaux.
2) l'union de deux quelconques d'entre elles est connexe.

Sinon pour l'impression de départ : "connexe ou totalement disconnexe", c'est normal avec ce genre d'ensembles c'est le plus souvent ou tout l'un ou tout l'autre.

[inviteb47fe896]

L'énoncé initial est assez touffu ; on parle de retirer des points d'argument rationnel si le rayon est rationnel et les points d'argument irrationnel si le rayon est irrationnel ; on envisage ensuite les cercles de rayons compris entre zéro et 1/2 . Tout ça mérite des éclaircissements ; il ne faut s'étonner si les réponses nagent dans le flou. Si tous les cercles de rayons compris entre 0 et 1/2 entrent dans la danse alors nous avons une partie connexe comprenant tous les cercles de rayons supérieurs à 1/2 et le reste qui est totalement disconnexe.