Calcul tenseur des deformations avec Loi Hook

[invite198dd5fb]

Bonjour voila j'ai un problème de compréhension pr le calcul du tenseur de
déformation avec la loi Hook dans un exercise

Dans l'exercise, on nous donne les composantes du tenseur des
contraintes....

Question 1) --> Déterminer les contraintes normales principales au point P
(a;0;2 *Racine (a)) . En déduire la contrainte tangentielle maximale en P

Il suffit de remplacer x1 x2 x3 dans le tenseur des contraintes par les
coordonnées du point P, et on a les contraintes normal principal au point P.
Puis on cherche les valeurs propres pour avoir la contrainte tangentielle.
Jusquà là ok..

Question 2) --> Dans le repère principal, déterminer le tenseur de
déformations au point P.

Là j'utilise la loi de Hook :
Tenseur_deformation = E/(1+u) * tenseur_contrainte - U/E *
Trace(tenseur_contrainte) - matrice_identité

Voila, moi dans cette formule, pour le tenseur de contrainte, j'aurai
utilisé le tenseur de contrainte trouvé à la question 1) c'est à dire où je
remplace x1 x2 x3 par les coordonnées du point A. Mais dans la corrections,
on utilise matrice où sur la diagonale y'a V1,V2,V3 (V1>V2>V3) où V1,V2,V3
sont les valeurs propres.

Voila mon problème, pourquoi utilise t'on cette matrice avec les valeur
propres sur la diagonales et 0 ailleur, comme tenseur de contrainte, pour
calcule le tenseur de déformation au poin P ?

Pour calculer le tenseur de déformation en un point , on doit toujours
procéder comme ça ?

Merci de vos réponses
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[inviteccb09896]

je n'ai pas encore étudié la loi de Hook sous forme tensorielle mais il est possible que dans la démonstration de celle-ci on aboutisse à un tenseur symétrique (ou anti-symétrique je ne sais pas...) et que donc il faut alors chercher les valeurs propres (c'est la seule possibilité qui te reste) en appliquant le théorème spectral de l'algèbre linéaire.

Au fait c'est assez similaire au tenseur d'inertie ou on démontre qu'elle est toujours réductible a ses valeurs propres qui donnent alors les moments d'inertie des axes principaux.. mais c'est juste une analogie à laquelle je pense. Il faudrait au fait trouver la démonstration de la loi de Hook sous forme tensorielle.

PS: j'ai quand même jeté un coups d'oeil dans l'excellent ouvrage "Mécanique des milieux continus" de G. Duvaut et il semble bien que le tenseur des contraintes soit un tenseur symétrique ce qui irait à confirmer mon hypothèse précédente.

[invite00411460]

on te demande "dans le repère principal". le repère principal est celui qui permet d'exprimer le tenseur des contraintes uniquement par les sigma, les tau étant nuls. le tenseur est donc une matrice T diagonale de dimension 3x3 où le terme T11 = sigma x', T22 = sigma y', T33 = sigma z'. les repère associé étant donc le repère x'y'z'.

je sais pas si ça peut t'aider voire même si ça répond à ta question

[invite198dd5fb]

Salut à tous,

Merci de vos réponse , donc si je comprends vu que je calcul dans le repère principal je dois prendre la matrice diagonale avec les sigma .
Maintenant si on m'avait poser la même question sans préciser le repère principal, alors j'aurai pris la matrice tenseur de contrainte trouvé à la question 1)

Merci encore de vos réponse


Gib

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