Condensateurs, résistance en parallèle..

[invite2af753dc]

Bonjour,

J'ai un exo à rendre à la rentrée, mais je suis très embété car je bloque dessus depuis maintenant 3 jours. J'ai l'impression d'avoir retourné le problème dans tous les sens, mais je ne vois toujours pas

Le voici :



Pour la question 1, j'ai trouvé :

à t=0 uC(0) = E ; u(0)=0
à t=+oo uC(+oo) = 0 ; u(+oo) = 0 (à cause de la dissipation par effet joule)

Par contre à la question deux je suis incapable d'établir une équation différentielle du second ordre... J'avais appliqué la loi des mailles, et j'arrivais à :

uC(t) = uR + u(t)
<=>
u(t) = - RC* duC(t)/dt + uC(t)

mais ça ne va pas

pourriez vous m'aider?

Merci
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[Jeanpaul]

Comment faites-vous pour obtenir une figure lisible ? Chez moi, elle est minuscule.

[invite2af753dc]

Il faut cliquer dessus.

Ou voici le lien vers l'image

[invite2af753dc]

Ce lien fonctionne, excusez du dérangement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Ben justement, il ne se passait rien quand je cliquais sur l'image.
Ceci dit, pour attaquer ces problèmes, il ne faut pas multiplier les variables, sous peine d'être débordé.
Appelle donc vA la tension aux bornes de C, vB celle aux bornes de C' (on prend 0 le potentiel de la ligne du bas : la masse).
Ensuite, appelle I le courant dans R (orienté vers la droite) et i le courant dans R' (orienté vers le bas).
Et c'est tout pour les variables.
Tu as donc I = - C dvA/dt (c'est bien un signe - car si I>0, le condensateur C se décharge)
Ensuite, tu as
vA - vB= R I
vB = R' i
I - i = C' dvB/dt (c'est bien un + : si I-i >0, le condensateur C' se charge)

Il ne reste plus qu'à triturer tout ça, par exemple en remplaçant vB par R'i et vA par R'i + RI et il reste 2 variables I et i où on peut éliminer I en dérivant.
Je te laisse faire la suite...

[invite2af753dc]

merci de ta réponse.

j'ai compris ce que tu avais écrit, mais je n'arrive pas à "triturer", je sais pas ce qu'il faut dériver, j'arrive pas à joindre les deux bouts en fait...

[Jeanpaul]

Si tu t'y es bien pris, tu dois trouver :
I - i = R'C' di/dt et
I = - R'C di/dt - RC dI/dt

De la 1ère, tu tires :
I = i + R'C' di/dt
que tu portes dans la seconde :
i + R'C' di/dt = - R'C di/dt - RC (di/dt + R'C' d²i/dt²)
Et c'est ça, ton équation du 2ème ordre.
Elle ne doit pas osciller car il n'y a pas de self. Vérifie.

[invite2af753dc]

merci beaucoup Jeanpaul

je vais potasser ça de suite, j'ai déjà regardé un petit peu et en fait oui, j'avais bien trouvé ça mais je n'arrivais pas à les assembler ; et je n'avais pas vu que d(a+b)/dt = da/dt + db/dt

par contre je n'ai pas étudié la notion de "self", c'est quoi ?

merci!

[Jeanpaul]

Self ou inductance, c'est une propriété des bobines qui présentent de l'auto-induction (elles envoient du flux magnétique dans elles-mêmes). Tu verras cela en temps voulu, c'est sûr.

[invite2af753dc]

je suis en MPSI, on verra ça cette année ou l'année prochaine en MP tu crois?

[invite2af753dc]

excuse moi de te déranger encore, mais j'ai ... encore un petit problème.

En résolvant cette équa diff du 2nd ordre, on va trouver i(t). Mais l'énoncé me demande u(t).

Faudrait il intégrer ?

[Jeanpaul]

Aux bornes de la résistance, tu as vB = R' i et c'est tout puisque tu connais i.
Ceci dit, tu as quand même un petit effort à faire pour écrire les conditions initiales, qui sont les tensions aux bornes des condensateurs.

[invite2af753dc]

Merci de ta réponse.
L'énoncé demande "établir l'équation différentielle du 2nd ordre à laquelle satisfait à chaque instant t, la tension u(t)". Et ce n'est que dans un second temps que je dois la résoudre.
Je peux écrire u(t)=R' * [ (RCR'C')*d²i/dt² + (R'C' + R'C + RC)*di/dt + i ] = 0 ?

Ou bien remplacer dans l'équa. diff. i par vB/R' ?

Et sinon en conditions initiales (à t =0) j'ai vA = E ; vB = 0.
Et à t=+oo j'ai vA = 0 et vB = 0 (?)

T'en pense quoi ?

Navré de te déranger encore, et merci énormément pour ta précieuse aide jusqu'à présent

[Jeanpaul]

OK avec les conditions aux limites.
Ceci dit, vB (ou u) obéit exactement à la même équa diff que i puisqu'il lui est proportionnel et qu'il n'y pas de second membre, il te suffit de remplacer i par u dans l'équa diff et tout est dit.

[invite2af753dc]

Mince, j'ai remplacé par vB/R' dans l'équation différentielle, et j'ai sorti sorti le 1/R' à chaque fois... c'est faux alors..

et je bloque encore pour trouver "lambda" et "mu" avec les conditions initiales..

[Jeanpaul]

Tu n'as pas d'autre choix que d'écrire les expressions de u (ou vB), puis de i, puis de I, puis de vA en fonction du temps, de qui contient les constantes lambda et mu. Ensuite, tu écris les conditions aux limites sur vA et vB et ça te donnera lambda et mu.
Tu utilises les 4 équations de départ.

[invite2af753dc]

merci beaucoup. j'essaie ça tout de suite.

tu m'as dit tout à l'heure qu'il suffisait de remplacer i par u dans l'équatio ndifférentielle. J'ai déjà rencontré des cas de figure similaires mais n'ai jamais vraiment compris pourquoi.

En fait, pourquoi est-ce faux de remplacer i par vB/R' mais qu'il faut le remplacer simplement par vB ?

Car on a bien, dans les premieres équations, écrit vB = R'*i

Merci

[Jeanpaul]

En fait, pourquoi est-ce faux de remplacer i par vB/R' mais qu'il faut le remplacer simplement par vB ?

Personne n'a jamais dit que c'était faux, sauf erreur...

[invite2af753dc]

oui mais dans ce cas la la solution générale de l'équation différentielle n'est plus la même

[Jeanpaul]

Elle a la même forme en tous cas. simplement les 2 constantes lambda et mu n'ont plus les mêmes valeurs.

[invite2af753dc]

Merci pour tes précisions.

Je suis en train de chercher pour les conditions initiales là.

J'ai pour l'instant : (r1 et r2 étant les deux solutions ; car je trouve delta > 0, ce qui colle avec ce que tu m'as dit : pas d'oscillations)

u(t) = lambda*e^r1t + mu*e^r2t
(I-i)(t)= C'*u'(t) = C'* ( lambda*r1*e^r1t + mu*r2*e^r2t )

je suis pas tout à fait sur pour le (I-i)(t) et je cherche a continuer, mais c'est un peu confus dans ma tête

[invite2af753dc]

Bon, j'ai suivi ton raisonnement

J'ai donc trituré les écritures afin de trouver vA(t) et donc d'en déduire une équation pour lambda & mu afin de trouver un système linéaire et donc de le résoudre pour trouver lambda & mu.

Comme vA(0) = E

J'arrive finalement à

u(t) = E / (tô (r2 - r1)) * (e^r2t - e^r1t)

avec r1 = (-3 + ) / tô
et r2 = (-3 - ) / tô

Et pour l'allure de u(t), je dirais que c'est croissant jusqu'à un maximum et que ça "redescend" vers 0, un peu comme une parabole.

Par contre je n'ai pas encore trouvé comment déterminer l'instant t où la tension est maximale.

Qu'en dis tu ?

[Jeanpaul]

Je suis d'accord si tô représente R C' mais je ne vois pas d'où viennent les valeurs de r1 et r2, elles dépendent de R, C, R' et C'.
Ensuite, tu dois bien voir que r1 et r2 sont 2 réels négatifs. Peu importe l'ordre.
On voit que u commence et finit à zéro, donc il y a un maximum, que tu trouves en écrivant du/dt = 0.

[invite2af753dc]

On est dans le cas ou R=R' et ou C=C'

et tô représente RC