Choc élastique et direct

[invite92876ef2]

Bonsoir.

Un point matériel de masse m1 entre en collision avec un point matériel de masse m2. Le chox est supposé direct et élastique. Quel est le rapport entre la perte d'énergie cinétique du point de masse m1 et son énergie cinétique initiale ? Réponse : 1 - [(m1-m2)/(m1+m2)]²

Je suppose que la perte d'énergie cinétique du point de masse m1 est 1/2m1v1² - 1/2m1v1'²...

On a donc : 1/2m1[v1²-v1'²] = 1/2m2[v2'²-v2²]
et : 1/2m1v1² = 1/2m1v1'² + 1/2m2(v2'²-v2²)

D'où : [m2[v2'²-v2²]] / [m1v1'²+m2(v2'²-v2²)]

Je fais comment pour aller à 1 - [(m1-m2)/(m1+m2)]² ?? Cela fait trop longtemps que je cherche...

Merci de m'aider !
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[invitea3eb043e]

D'abord, il faut écrire la conservation de la quantité de mouvement totale :
m1 v'1 + m2v'2 = m1 v1 + m2 v2
Ensuite, il faut rajouter des hypothèses, dont la conservation de l'énergie cinétique (choc élastique)
1/2 m1 v'1² + etc..

Et enfin, j'ai l'impression que cette formule n'est applicable que si la masse m2 était au départ au repos dans le référentiel où on travaille : v2=0

Il faut se méfier de cette notion d'énergie cinétique, qui dépend du référentiel. C'est pour lever ce problème qu'Einstein a créé la Relativité Restreinte.

[invite92876ef2]

1/2m1[v1²-v1'²] = 1/2m2v2'²
et : 1/2m1v1² = 1/2m1v1'² + 1/2m2v2'²

D'où : [m2v2'²] / [m1v1'²+m2v2'²]

Euh, ça ne m'aide guère...

[invitea3eb043e]

On reprend en détail en supposant v2=0:
Conservation de la quantité de mouvement :
m1 v'1 + m2 v"2 = m1 v1
Conservation de l'énergie cinétique en doublant tout :
m1 v'1² + m2 v'2² = m1 v1²
On prend la valeur de v'2 dans [1] et on porte dans [2]
v'2 = m1(v1 - v'1)/m2
Après quelques intermédiaires :
m1 (v1 - v'1)² = m2 (v1² - v'1²)
On peut simplifier par v1 - v'1 (c'est la situation de départ)
D'où v'1 = v1 (m1 - m2)/(m1 + m2)
si tu compares alors l'énergie cinétique 1/2 m1 v'1² à 1/2m1 v1², tu trouves ce que tu cherches.

Si v2 n'était pas nul, cela reviendrait à changer de référentiel, et la formule ne s'appliquerait plus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92876ef2]

Comment passes-tu de :

v'2 = m1(v1 - v'1)/m2

à :

m1 (v1 - v'1)² = m2 (v1² - v'1²) ? N'y a-t-il pas une erreur dans ta dernière expression ?

[invitea3eb043e]

Très simplement : j'écris :
v'2 = m1(v1 - v'1)/m2
et je porte dans la conservation de l'énergie :
m1 v'1² + m2 v'2² = m1 v1²
Ca donne :
m1 v'1² + m1²/m2 (v1 - v'1)² = m1 v1²
En simplifant par m1 et en multipliant par m2, ça donne bien :
m1 (v1 - v'1)² = m2 (v1² - v'1²) qu'on simplifie par (v1 - v'1) :
m1 (v1 - v'1) = m2 (v1 + v'1)
v'1 s'en déduit de manière élémentaire, puis l'énergie cinétique 1/2 m1 v'1² à comparer avec 1/2 m1 v1², valeur initiale.
Je ne vois pas d'erreur.

[invite44d3d80c]

merci pour cette aidé. j'ai reste longtemp pour montrer que v'2=2(m1v1)/(m1+m2) mais il n y a rien. si tu peut j'att la reponse et je re merci.

[invitea3eb043e]

Le mieux est de repartir du début :
- (éq 1) conservation de la quantité de mouvement : m1 v'1 + m2 v'2 = m1 v1
- (éq 2) conservation de l'énergie cinétique (simplifiée par 2) : m1 v'1² + m2 v'2² = m1 v1²
tout ça parce que v2 = 0
On prend la 1ère équation : m1 v'1 = m1 v1 - m2 v'2
on l'élève au carré : m1²v'1² = m1² v1² + m2² v'2² - 2 m1 m2 v1 v'2 [éq A]
On prend l'équation (2) : m1 v'1² = m1 v1² - m2 v'2² qu'on multiplie par m1
m1² v'1² = m1² v1² - m1 m2 v'2² [éq B]

Equations [A] et [B], ça fait 2 expressions de m1² v'1² qu'on égale :
m1² v1² - m2² v'2² 6 2 m1 m2 v1 v'2 = m1² v1² - m1 m2 v'2²
On simplifie et on divise des 2 côtés par m2 v'2 qui n'est pas nul et ça donne bien le résultat cherché.
Ça réclame un soupçon de dextérité et surtout une capacité à ne pas se tromper dans les équations mais c'est assez élémentaire en fait.