Bonjour tout le monde,
Je suis en plein cours de Théorie Quantique des Champs, et ça soulève pas mal de questions métaphysiques
Premièrement, comment se fait-il qu'on ne puisse étudier la TQC que de manière perturbative (diagrammes de Feynman, ...) ?
Deuxièmement, pourquoi la théorie des perturbations diverge ? Comment se fait-il que les séries ne soient pas sommables proprement ?
Si vous avez un début d'embryon d'idée de réponse, je suis preneur.
Encore une victoire de Canard !
Salut,
Pour tes questions, tu peux voir ça de cette manière : que mesures-tu lorsque tu cherche à déterminer la masse par exemple d'un électron ? Comment vas-tu t'y prendre ?
Généralement tu fais ça avec de l'électromagnétisme n'est-ce-pas ? Donc penses-tu que ta masse mesurée est celle qui intervient dans l'équation de Dirac, ou faut-il y rajouter toutes les corrections quantiques dûes aux fluctuations et aux créations de paires ?
Si tu suis la première idée, tu obtiens des infinis partout, et le pourquoi du comment tu peux le voir déjà lorsque tu essayes naïvement de calculer l'énergie du vide, qui est infinie puisque chaque mode apporteet qu'il y en a une infinité... (à noter : c'est une des raisons d'après mon prof de la difficulté de marier RG et MQ, puisque en MQ l'énergie est définie à une constante près donc pouf ! Tu évacues cette constante infinie, alors qu'en RG une énergie est source de gravitation, donc tu ne peux pas l'évacuer comme ça...)
Si tu suis la seconde idée, tes calculs dans une théorie dite renormalisable donnent des résultats finis, et qui en plus sont en parfait accord avec l'expérience. Seulement, tu dois tenir compte de toutes les fluctuations, et donc de tous les diagrammes de Feynmann correspondants.. Si ta théorie est "bien faite" (ie renormalisable) ces fluctuations ne divergent pas méchamment et ce sont bien des corrections
Dernière modification par Gwyddon ; 12/11/2006 à 14h26. Motif: orthographe
A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
En fait ce n'est pas du tout lier à TQC. Tous domaines de physique confondus la plupart des problèmes sont insolubles analytiquement.Envoyé par Coincoin
Une stratégie générale est de trouver un modèle à l'ordre zéro et de déduire les situations voisines du modèle, ce qui mathématiquementveut dire développement limité et théorie des perturbations selon le contexte.
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Pour prendre un exemple TQC (QED) il est "facile" à l'ordre zéro de résoudre le champ de fermion libre et le champ électromagnétique libre. Comme ces 2 champs sont faiblement couplés il est facile le traiter le couplage en perturbation.
Une version équivalente en hydrodynamique (pour la physique El ninô) est de définir à l'ordre zéro 2 courbes de dispersion par exemple des ondes de Rossby et des ondes de gravité. Le coulage, s'i il est faible sera traité en perturbation et le résultat sera appelé ondes mixtes de Rossby-gravité.
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Dans le problème à N corps de type électronique, on commence par traiter le problème en champ moyen et l'on essaie d'améliorer la description en perturbations pour traiter des effets subtils des phénomènes à N corps (quand c'est possible).
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En fait les problèmes solubles par perturbations sont en quantité miniimes, il faut donc trouver des solutions autres.
Par exemple dans la physique des particules élémentaires la théorie des groupes va jouer un role primordiable. En effet en exploitant uniquement les propriétés de symétrie (qu'il faut découvrir) on est capable d'expliquer les spectres de particules ou les rapports entre sections efficaces de collisions des particules en rejettant toutes les difficultés sur des coefficients ajustables que l'on appelle éléments de matrices réduits en théorie des groupes (voir théorème de Wigner-Eckart).
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Une autre stratégie est de conceptualiser la physique (grace a des phénomènes bien maitriser) et de fabriquer un jeu auto-consitent d'équations. On obtiend en géneral un ensemble d'équations intergro-différentielles non-linéaires. Pour le pb N corps électroniques on extrait des sous modèles telle que la fameuse approximation GW.
Comme le souligne mariposa, c'est avant tout un problème d'analyse, on ne sait pas calculer analytiquement des intégrales autres que gaussienne. La seule méthode qu'on a trouvé pour le moment et qui marche pas si mal (cf conference Feynman sur QED) est de supposer que les couplages autres que gaussiens soient petits et de tenter un développement perturbatifs.Premièrement, comment se fait-il qu'on ne puisse étudier la TQC que de manière perturbative (diagrammes de Feynman, ...) ?
Well, life is tough and then you graduate !
BonjourBen c'est quand même pas tout à fait vrai ça ! Il existe des approches non-perturbatives, notamment les calculs ur réseau !
Exact Nonperturbative Renormalization
Ceci n'est pas limité aux calculs sur réseau : parfois on peut explicitement faire des calculs, notamment dans les modèles de type Ising, voir les travaux dits de "renormalisation non-perturbative" :
What can be learnt from the nonperturbative renormalization group?
Voir aussi cette discussion sur sci.physics.research
A nuancer tout de meme car il est toujours possible dans une théorie renormalisable d'ajouter un contre-terme constant permettant de rendre finie l'énergie du vide. La plupart on ne le fait pas pour les raisons que tu invoques (ie on ne se préoccupe que des differences d'énergies dans les mesures). Mais formellement ce n'est pas un problème, on sait renormaliser l'énergie dans une théorie renormalisable (rien d'étonnant finalementSi tu suis la première idée, tu obtiens des infinis partout, et le pourquoi du comment tu peux le voir déjà lorsque tu essayes naïvement de calculer l'énergie du vide, qui est infinie puisque chaque mode apporte et qu'il y en a une infinité... (à noter : c'est une des raisons d'après mon prof de la difficulté de marier RG et MQ, puisque en MQ l'énergie est définie à une constante près donc pouf ! Tu évacues cette constante infinie, alors qu'en RG une énergie est source de gravitation, donc tu ne peux pas l'évacuer comme ça...)).
Le souci principal est que la RG n'est pas une théorie renormalisable.
Je dirai plutot sympathique, car une théorie physique n'a pas a priori de raison d'être renormalisable. Dans le cas d'une théorie renormalisable les fluctuations (après renormalisation) sont toujours finies.Si ta théorie est "bien faite" (ie renormalisable) ces fluctuations ne divergent pas méchamment et ce sont bien des corrections
Autre petit détail important. La non-renormalisabilité n'est pas forcément un mal en soit. Une théorie est dite renormalisable, si les contre-termes nécessaires à la rendre finie sont de memes formes que ceux apparaisant dans la théorie classique (au niveau des arbres). En gros la renormalisation consiste à modifier simplement les constantes de couplages.
Maintenant une théorie non-renormalisable peut également être rendu finie ! La seule différence est que les contre termes sont souvent différents de ceux présent à l'arbre et surtout il en apparait de nouveaux à chaque ordre en perturbation. Tout cela rend la procédure de renormalisation plus difficile puisqu'il ne s'agit plus de modifier simplement les constantes de couplages, il fait ajouter d'autres termes de formes différentes.
Cependant il demeure toujours un problème. Ces nouveaux termes (non nécessaire si la théorie est renormalisable) ont des dimensions de masse > 4. Ce qui signifie qu'ils sont supprimés par une échelle d'énergie (de manière à ce que le contre terme final soit lui de dimension 4), et cette échelle d'énergie définit une échelle limite au de-ça de laquelle la théorie quantique peut être décrite de manière effective et complement finie à un ordre donnée de la serie de perturbation !
Par exemple on peut très bien faire de la RG quantique à basse énergie. L'échelle de suppression de la théorie effective est ici la seule échelle naturellement disponible, la masse de planck. Donc la RG est non renormalisable mais on sait faire des calculs finis pour des processus mettant en jeu des énergies inférieures à Mplanck. Le problème étant que les effets gravitationnels sont considérablement négligeable à basses énergies.
Je dis tout cela pour désacraliser la notion de renormalisabilité, c'est une propriété mathématique qui simplifie la procédure de renormalisation. Il y a eu un revirement conceptuel dans la facon d'apprehender cette propriété il y a peut etre 10 ans environ, et on s'est rendu compte qu'une théorie non renormalisable pouvait jouer le role d'une théorie physique tout du moins en dessous d'une certaine energie limite. Aujourd'hui le modèle standard lui-meme est considéré comme une théorie effective. Seulement la plupart des profs formées à l'ancienne école ne prennent pas cela en compte dans leur cours et la renormalisabilité est une propriété sacrée pour eux (c'était le cas de mon prof par exemple)
Dernière chose, il y a une facon élégante de comprendre la renormalisabilité en regardant l'évolution des contre termes sous les transformations du groupe de renormalisation de Wilson. Pour cela je vous conseille de lire le chapitre de peskin et schroeder la dessus, c'est tres instructif et intuitif !
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Well, life is tough and then you graduate !
Pour moi les calculs sur réseaux, c'est du calcul numérique,assimilable à de l'expérimentation numérique.
Oui, je suis assez d'accord avec ça. Notamment lorsqu'on les voit mettre des points avec des grosses barres d'erreur sur des courbes expérimentales, les expérimentateurs ont souvent l'impression que les rôles sont inversés !
Il existe des méthodes de renormalization non perturbative, c'est un formaliste en construction encore mais qui semble très prometteur. Les gens ont fait des avancées intéressantes pour des théories simples comme lambda phi4 ou O(N). Reste à avancer encore pour les théories de jauges.
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PS : exact non-perturbative renormalization est different des calculs sur réseaux. Ces derniers n'étant juste que des approximations numériques.
Well, life is tough and then you graduate !
Bon, d'accord le calcul sur réseau c'est du numérique, il y a une différence conceptuelle avec la résolution formelle d'une théorie de jauge. Mais pragmatiquement, s'ils me fournissent des résultats à 0.1% moi ça me va bien, c'est brute force à partir des principes premiers de QCD tout de même.
... enfin, il faut que je modère mes propos, parce que souvent ils font des prédictions sur un certain nombre d'observables à partir d'ajustements de paramètres sur d'autres observables (connues).
Il existe des méthodes "universelles" pour les vrais traitements non perturbatifs, comme je l'ai affirmé dans un post précedent.
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En physique du solide il existe une méthode appelé méthode des fonctions de Green. Dans un post "ancien" j'avais eu l'opportunité d'expliquer à un thésard ce qu'est l'approximation GW qui est un sous-produit de cette méthode.
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J'ai recherché dans mes livres quelque chose qui ressemblerait à la méthode des fonctions Green pour les particules élémentaires. Et bien j'ai trouvé dans le livre de Nélipa (édition MIR): Physique des particules élémentaires, le chapitre 6 intitulé: METHODE DES FONCTIONS DE GREEN.
Et bien il s'agit rigoureusement de la même chose!!!!!!
Dans le contexte des particules élémentaires, les équations sont appelées: équations de Schwinger.
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En fait il y a une architecture générale commune que l'on peut retrouver en physique statistique générale, mais aussi en hydrodynamique pour traiter de la turbulence développée.
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Mon impression générale, quelquesoit le secteur physique, est que tout ça est une affaire de processus de Markov!!!
La résolution numérique "excate" se rapproche de l'éxpérience, dans le sens où l'on a des résultats mais que l'on ne comprend pas.
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L'exemple de la prévision météorologique à 5 jours est un bon exemple. Les résultats sont justes mais on ne comprend toujours pas bien comment fonctionne le rail de dépression sous nos latitudes (anciennement appelées instabilités baroclines).
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En fait le plus intéressant, mais le plus difficile, est de réaliser des modèles premiers principes, (donc de façon déductive), mais où les approximations sont bien maitrisées. En effet c'est ainsi que l'on progresse dans la compréhension des choses.
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Pour prendre un exemple simple et historique, le classement emprique des atomes dans le tableau de mendeleif se déduit des premiers principes de la MQ avec le modèle de champ moyen d'où on tire les modèles en couche s,p,d etc..
Dyson-Schwinger je crois. Mais oui, il existe tout plein de choses au-delà des perturbations. Toutes la théorie des champs topologique (Chern-Simmons en particulier)... Le sujet est vaste, et bien au-delà de mes compétences à vrai dire.
Et bien il s'agit rigoureusement de la même chose!!!!!!
Dans le contexte des particules élémentaires, les équations sont appelées: équations de Schwinger.Ces équations sont effectivement des ressommations de certains diagrammes à tous les ordres en perturbations mais pas de toutes les topologies de diagrammes différents. Ce sont encore une fois des approximations, où certaines classes de diagrammes à n boucles ont été resommées, car ils peuvent se factoriser en termes de diagrammes possédant un nombre de boucles plus petit.Dyson-Schwinger je crois.
On retrouve ce genre de ressommations dans le calcul des self-energy, pour lequelles on évalue un propagateur dit "habillé" en utilisant l'équation de dyson qui remplace le propagateur libre.
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Non pas du tout d'accord. il s'agit d'un jeu de 6 équations intégro-différentielles excates, sans aucune approximation.
On résoud ces équations par itération. l'avantage est la rapidité de convergence car en effet, comme tu le dit justement, en termes de diagrammes il y a automatiquement une sommation infini de certains diagrammes. Cela revient à dire qu'a chaque itération les grandeurs (fonction de vertex,propagateur de polarisation, constante diélectrique, self-energy) se trouvent de mieux en mieux "habillés" relativement à l'approximation d'ordre zéro.
C'est justement là toute la stratégie qui est de prendre un modèle à l'ordre zéro intelligible à notre esprit, qui acquière un statut conceptuel et de le perpetuer.
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Par exemple ioniser c'est enlever 1 électron. On peut donc calculer un niveau au delà du champ moyen. On montre que ces niveaux sont les poles de la fonction de Green avancée à 1 particule. Les états excitès sont les poles de la fonction de Green 2 particules etc..
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La méthode est tellement puissante qu'a la première itération (méthode GW ppotentiel entre 2 électrons écrantés pat une constante diélectrique obtenue par la fonction de vertex,dérivée fonctionnelle de la fonction de Gren inverse par rapport au potentiel à l'ordre zéro) on obtiend des résultats en accord avec l'expérience et inaccesibles en perturbations.
La philosophie générale de la méthode est celle donc de la renormalisation des grandeurs mesurables et des grandeurs intermédiaires relativement à 1 modèle de référence (qui conceptuellement permet de:
1- comprendre, notion de quasi-particule, constante diélectrique, et qui:
2-techniquement permet d'amorcer l'itération.
Cette méthode est universelle et "n'importe qui" pourrait la développer dans un contexte nouveau. Pour cela il faut avoir un modèle à l'ordre zéro et "projeter' les équations excates sur ce modèle. l'opération de projection c'est justement écrire ce jeu d'équations qui est en fait une reformulation radicale du problème mais complètement équivalente.
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Malheureusement autant je peux discuter la "version "physique du solide, autant je suis incompétent dans la "version" particules élémentaires. Néanmoins j'ai noté que le formalisme est identique. Il serait interessant de voir les origines historiques. J'ai comme référence L.Hedin et S.Lundqvist 1969
Les equations differentielles sont peut etre exactes mais, on les résouds dans la pratique en faisant un développement perturbatif de toute facon. Le propagateur habillé dans l'approximation à une boucle correspond à ressommer tout les diagrammes que l'on peut ecrire comme un produit de sous diagrammes à une boucle.Non pas du tout d'accord. il s'agit d'un jeu de 6 équations intégro-différentielles excates, sans aucune approximation.
Je suis d'accord que les équations sont exactes, mais c'est toujours la meme chose, leur résolution nécessite une approche perturbative, améliorée (avec ressommation partielle à la Dyson) ou non.
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Iterer un système d'équations en boucles ce n'est quand même pas synonymes de perturbation.
. ce propagateur peut te servir à calculer une nouvelle fonction de réponse (constante diélectrique) qui va au bout du compte te permettre a calculer un nouveau propagateur un peu mieux "habillé". etc...et ça c'est pas du développement perturbatif.Le propagateur habillé dans l'approximation à une boucle correspond à ressommer tout les diagrammes que l'on peut ecrire comme un produit de sous diagrammes à une boucle.
Un exemple supposons qu'un raisonnement te permet de dire qu'une grandeur :
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1 devient 1/1-x
On peut réecrir et interpreter cette transformation sous la forme d'un DL et vérifier que la sommation sur tous les termes du développement redonne bien 1/1-x; Avoue que c'est pas efficace et inutile. Et bien c'est excatement ce que permet la technologie des fonctions de Green.
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L'exemple que tout le monde connait est le gain d'un amplificateur:
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..G = G°/1-b.G°
G° est le gain en chaine ouverte et b est la contre-réaction.
On voit sur cet exemple le rapport bijectif entre l'entrée et la sortie qui est le prototype de l'interaction de 2 particules et explique d'une manière très simple l'origine profonde de l'importance des fonctions de Green pour décrire la causalité temporelle entre les "objets physiques", cad a sommer de facto des séries
D'une manière ou d'une autre si.Iterer un système d'équations en boucles ce n'est quand même pas synonymes de perturbation.
Encore une fois, si, c'est équilavent. Regardez le calcul de la self energy par exemple. La ressommation des corrections aux propagateurs stoppée après N itérations, est équivalent à calculer la self-energy de la particule se propageant cad des diagrammes vide-vide à N boucles !. ce propagateur peut te servir à calculer une nouvelle fonction de réponse (constante diélectrique) qui va au bout du compte te permettre a calculer un nouveau propagateur un peu mieux "habillé". etc...et ça c'est pas du développement perturbatif.
Encore une fois résoudre l'équation de Dyson dans la pratique revient à faire un développement perturbatif amélioré.
Bien sur que le A=1/1-x peut etre decomposé en serie perturbative, MAIS ce terme ne constitue qu'une ressommation partielle de tout les diagrammes contribuant à A. Ce que je disais plus haut correspond ici à évaluer x en serie de perturbation. Ensuite on remonte à A en ressommant les produits de termes de la série précédente.On peut réecrir et interpreter cette transformation sous la forme d'un DL et vérifier que la sommation sur tous les termes du développement redonne bien 1/1-x; Avoue que c'est pas efficace et inutile. Et bien c'est excatement ce que permet la technologie des fonctions de Green.
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Well, life is tough and then you graduate !
Finalement, qu'est-ce qui n'est pas une forme de calcul des perturbations ?
- Un développement 1/N à la 't Hooft, ça c'est perturbatif.
- Les méthodes semi-classiques type instantons c'est perturbatif en
- Il existe tout de même des choses en théories quantiques des champs topologiques, non ? Des choses non-triviales physiquement et compréhensible avec pas trop d'efforts, quelqu'un a un exemple ?
- Le calcul brute force sur réseau ça c'est clair que ce n'est pas perturbatif.
- Certains modèles sont intégrables directement (je n'ai ni le courage ni les compétences pour en faire une liste...)
- D'autre choses ?
Je vois bien pourquoi on diverge car pour moi si x represente la self-énergy à l'ordre zéro, cad le potentiel de Hartree-Fock, apres une première boucle d'itération x devient x/e où e est la constante diélectrique. Autrement dit à l'issue d'un tour on obtiend une équation effective à 1 électron où le potentiel effectif est celui d'hartree-Fock mais écranté. Il n'y a pas de développement perturbatif là dedans.
En fait il faudrait pouvoir discuter à partir de quelquechose en commun. Comme tu as pu le remarquer je m'intéresse à la physique des particules élémentaires, tu pourrais me proposer 1 ou 2 livres que tu utilises couramment et que je pourrais acheter. Ca faciliterait les discussions.
Je suis d'accord mais j'imagine que refaire une itération revient à remplacer x/e par x/e' ou e' est la constante diélectrique qui contient des corrections d'ordre supérieur, et ainsi de suite. C'est la dedans qu'il y a un développement perturbatif pour moi.Je vois bien pourquoi on diverge car pour moi si x represente la self-énergy à l'ordre zéro, cad le potentiel de Hartree-Fock, apres une première boucle d'itération x devient x/e où e est la constante diélectrique. Autrement dit à l'issue d'un tour on obtiend une équation effective à 1 électron où le potentiel effectif est celui d'hartree-Fock mais écranté. Il n'y a pas de développement perturbatif là dedans.
sinon,
Peskin et Schoeder : introduction to quantum field theory
C'est LA référence en tqc. Mais c'est un bouquin qui coute pas mal cher, malheureusement. Sinon il doit avoir ce genre de chose traiter dans les cours disponible sur le web.
Je pense au cours de W.Siegel mais je ne suis pas sur. ou d'autre.
Well, life is tough and then you graduate !
.Finalement, qu'est-ce qui n'est pas une forme de calcul des perturbations ?
- Un développement 1/N à la 't Hooft, ça c'est perturbatif.
- Les méthodes semi-classiques type instantons c'est perturbatif en
- Il existe tout de même des choses en théories quantiques des champs topologiques, non ? Des choses non-triviales physiquement et compréhensible avec pas trop d'efforts, quelqu'un a un exemple ?
- Le calcul brute force sur réseau ça c'est clair que ce n'est pas perturbatif.
- Certains modèles sont intégrables directement (je n'ai ni le courage ni les compétences pour en faire une liste...)
- D'autre choses ?
C'est plus facile de définir ce qu'est une théorie de perturbations et de prendre le "complément" !!
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Tous domaines de physique confondus il faut pouvoir identifier dans un système d'équations un petit parametre qui lorsqu'il vaut zéro donne des équations solubles, c'est l'approximation à l'ordre zéro. Apres quoi on détermine la solution perturbée comme voisine de la solution à l'ordre zéro.
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1 exemples:
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A- On veut déterminer le mouvement de la Terre autour du soleil. La Terre interagit avec toutes les autres planètes (provblème à N corps. A l'ordre zéro on détermine la solution Soleil-Terre (j'ai viré la lune). On trouve une trajectoire elliptique.
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Ensuite on traite l'influence des autres planetes comme une perturbation et on trouve une solution voisine a savoir que 1- l'ellipse tourne lentement sur elle-même (par raport aux étoiles fixes) et 2 l'ellipcité varie périodiquement.
Quand on ne peut pas faire çà stritement le traitement est non perturbatif. C'est ainsi que les calculs perturbatifs ci-dessus divergent sur un temps long (100 millions d'années) alors il reste le calculateur (pour ce problème) et encore!!!.
Peut-etre cher, mais c'est une référence qui fait de plus en plus autorité. Il est vrai qu'il est excellent et très sérieux techniquement.
Forcément, il y a tellement de choses dans le Siegel, et puis certes il est gratuit, mais (mon expérience c'est que) soit on l'utilise depuis longtemps et on est habitué au style et aux notations, soit on est facilement rebuté par sa non-conventionalité. Le Siegel il faut s'y plonger en partant du début, en lisant le "pourquoi il vous fait subir tout ça" et seulement après quelques semaines de lectures on commence à vraiment gagner. Ceux à qui je l'ai indiqué m'ont répondu qu'ils étaient déconcrtés ou sceptiques.Je pense au cours de W.Siegel mais je ne suis pas sur. ou d'autre.
Merci à tous les 2, Karibou et Humanino pour votre avis très positif. Je l'ai commandé sur amazon
Merci pour les liens, je regarde ça quand j'ai le temps.
Encore une victoire de Canard !
LE Peskin ? Celui qui bosse à Stanford sur la supersymétrie et avec qui j'aimerais faire mon stage de cette année ?
A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
Effectivement, le Peskin a l'air d'être une bonne référence. Mes deux profs de TQC conseillent (du plus introductif au plus profond) : Ryder, Peskin puis Weinberg. Je pense que je finirai par m'acheter le Peskin (sauf si tu en piques un pour moi à Stanford).
Encore une victoire de Canard !
Alors j'ai tout faux. Il y a 1 mois j'ai acheté les 3 Weinberg. Dur, dur!!
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Il y a 2 jours j'ai acheté le Peskin. En attente..
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Si je comprends bien il faudrait que j'achète le Ryder!!
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Références du Ryder?
Il existe beaucoup de livres de TQC (meme d'introduction). Le peskin peut à la fois etre lu de facon lineaire et on n'est jamais perdu en prenant un page au hasard pour lire quelquechose de précis (ce qui n'est pas toujours le cas pour Weinverg). Maintenant comme tout livre d'introduction, il manque des choses ou certains détails. Mais l'avantage est que le peskin est vraiment complet et apprend à faire de calcul rigoureux au moins dans le modèle standard arbre et une boucle), de plus il contient des discussions tres interessantes (et plus abordables que le weinberg) sur le formalisme utilisé qui permettent presque d'avoir un peu d'intuition.
Je connais moins bien le Ryder, mais je pense qu'il est similaire au Peskin. C'est du moins le cas pour le contenu traité, maintenant pour la forme je pense que Peskin présente mieux les choses.
Bref si j'avais un achat à faire j'achèterai Peskin.
Weinberg reste un bouquin peu abordable pour le néophite. Il demande une certaine maturité dans le domaine pour en percevoir la richesse.
KB
Well, life is tough and then you graduate !
