A propos d'Einstein n° 2

[invité576543]

Cher Gwyddon,
Je ne conteste pas que (t) soit une dimension temporelle, il me semble par contre que ce n'est pas pour rien qu' Einstein et les physiciens de son époque aient précisé dans le cadre de la Relativité qu'il s'agit d'un espace-temps. Que fais-t-on de la réversibilité..? Comme je l'ai suggéré dans un post précédent, si l'on peut se permettre d'intervertir des coordonnées mathématiques à loisir, dans le cadre de la physique ce n'est pas toujours vrai.

Il est vrai que la nature d'une direction (temps ou espace) est la même dans tout référentiel. On ne peut donc pas permuter une direction temporelle et une direction spatiale. (Corrélativement, on ne peut pas renverser une direction temporelle, alors qu'on peut le faire pour une direction spatiale.)

Mais on peut les combiner. La différence de deux directions de type temps peut être de type espace, et réciproquement.

Il y a donc bien une forme de mélange qui amène à considérer que l'espace-temps n'est pas espace + temps, mais bien un continuum 4D dans lequel les directions de type temps sont bien caractérisées, sans qu'il y ait une direction temporelle.

Mais ceci sont des propriétés de l'espace-temps, ce que tu dis n'explique pas en quoi le temps n'est pas une dimension! Même en mécanique classique, on peut très bien considérer un espace-temps 4D, simplement parce qu'il faut 4 coordonnées pour localiser un événement.

Cdlt,
-----

[invite4baed56c]

mmy, Je ne crois pas avoir ecrit qu'il fallait mois de 4 coordonnées pour localiser un evennement! Par contre il est vrai que j'ai maladroitement formulé mon propos dans le post #7 en disant que (t) est une coordonnée temporelle et pas une dimension. Mea culpa.
merci de ne pas me faire dire ce que je ne dis pas.

[invité576543]

mmy, Je ne crois pas avoir ecrit qu'il fallait mois de 4 coordonnées pour localiser un evennement! Par contre il est vrai que j'ai maladroitement formulé mon propos dans le post #7 en disant que (t) est une coordonnée temporelle et pas une dimension. Mea culpa.
merci de ne pas me faire dire ce que je ne dis pas.

Du calme.

Je ne t'ai rien fait dire du tout, j'ai mis des conditionnelles là où il fallait, ce me semble. Je cherchais juste à comprendre ce que tu entendais par dimension, rien d'autre.

Cdlt

[invite0cbab8b4]

Drôle de pagaille les répondants qui répondent avec de tas de trucs mathématiques et autres engins… Désolé Erastothène ne pose que des quetions d'ordre philoso-sens-commun et pas du tout mathématiques…
Merci quand même à tous!
Le prochaine fois je posereait la question dans des termes plus précis car il y en était question de revenir sur le concept "gravitation" et "masse" que nous avons hérités de Newton.
Tant pis pour moi!

[invite9c9b9968]

Ça prouve que la discussion est interessante, si des gens y répondent. C'est vrai que le niveau technique s'est élevé mais cela est source d'enrichissement (merci mmy )

Sinon le concept de gravitation a un peu évolué quand même depuis Newton, donc je n'ai pas trop compris ta dernière phrase..

[invite0cbab8b4]

Ça prouve que la discussion est interessante, si des gens y répondent. C'est vrai que le niveau technique s'est élevé mais cela est source d'enrichissement (merci mmy )

Sinon le concept de gravitation a un peu évolué quand même depuis Newton, donc je n'ai pas trop compris ta dernière phrase..

Merci tout de même pour votre modèration!
Je crois que je me suis trompé de lieu car selon la charte ceci n'est pas le lieu où l'on pourrait eventuellement exposer d'autres sujets que ceux qui sont déjà établis!
Ce fut un grand plaisir d'avoir néanmoins pu placer deux question et avoir pu proviquer un échange parmi ceux qui savent!

[invite9c9b9968]

Merci tout de même pour votre modèration!
Je crois que je me suis trompé de lieu car selon la charte ceci n'est pas le lieu où l'on pourrait eventuellement exposer d'autres sujets que ceux qui sont déjà établis!
Ce fut un grand plaisir d'avoir néanmoins pu placer deux question et avoir pu proviquer un échange parmi ceux qui savent!

Je ne comprend pas, que nous reprochez-nous exactement ? Qu'est ce que signifie votre première phrase ?

[invité576543]

Je crois que je me suis trompé de lieu car selon la charte ceci n'est pas le lieu où l'on pourrait eventuellement exposer d'autres sujets que ceux qui sont déjà établis!

Bonjour,

Mais fderwelt a proposé une réponse (message #2) à la question initiale (message #1). Et tu n'es pas intervenu ensuite.

Pour maintenir le fil dans la ligne que tu désires, il faudrait dire ce que tu penses de la réponse de fderwelt, par exemple, ou reposer une autre question, non?

Sinon, parler de courbure de l'espace-temps n'est pas, àmha, une "question d'ordre philoso-sens-commun". La notion même de courbure est mathématique, l'image d'une surface courbée par une masse n'est qu'une image très lointaine, et fallacieuse à mon avis, de la notion mathématique qu'est la courbure de l'espace-temps.

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Il semble faire référence à l'article 11 de la charte :

11. Les titres des messages doivent être explicites. Merci d'éviter autant que possible de dériver hors du fil du sujet.

Amicalement

Oups devancé par mmy

[invite4793db90]

Salut,

je reviens juste sur le fait que pour plonger une variété de dimension 4 (variété d'espace-temps), un espace euclidien à 5 dimensions ne suffit pas forcément : par exemple, la bouteille de Klein est une surface qui ne peut pas être plongé dans . Il existe une borne sup néanmoins qui est 2n+1 si je me souviens bien (ça ferait donc 9 dimensions au plus pour plonger une variété d'espace-temps).

Cordialement.

[invite8ef897e4]

je reviens juste sur le fait que pour plonger une variété de dimension 4 (variété d'espace-temps), un espace euclidien à 5 dimensions ne suffit pas forcément : par exemple, la bouteille de Klein est une surface qui ne peut pas être plongé dans . Il existe une borne sup néanmoins qui est 2n+1 si je me souviens bien (ça ferait donc 9 dimensions au plus pour plonger une variété d'espace-temps).

Ah une intervention de mathématicien
ça faisait longtemps que j'étais dans l'erreur. J'imagine que les complications sont forcément topologiques, c'est à dire liées au propriétés globales...

Il me semblait pourtant que le théorème de Whitney (cité par Rincevent) donnait comme borne 2n !?

[invité576543]

je reviens juste sur le fait que pour plonger une variété de dimension 4 (variété d'espace-temps), un espace euclidien (...)

Il ne serait pas euclidien, non? Quelle signature, d'ailleurs?

Cdlt,

PS: Erastothène va demander l'application de l'article 11...

[invite4793db90]

c'est à dire liées au propriétés globales...

Oui bien sûr, puisqu'une carte donne un homéomorphisme local avec un ouvert de Rⁿ.

Il me semblait pourtant que le théorème de Whitney (cité par Rincevent) donnait comme borne 2n !?

Argh, je n'avais pas remarqué l'intervention de Rincevent : donc 2n en effet (sauf si n=1).

Il ne serait pas euclidien, non? Quelle signature, d'ailleurs?

Quand on parle d'immersion, on prend juste la variété et on oublie la métrique : par exemple une sphère est une variété riemanienne qui vit bien dans un espace euclidien. (En espérant ne pas dire de bêtise)

Cordialement.

[invitea29d1598]

Il me semblait pourtant que le théorème de Whitney (cité par Rincevent) donnait comme borne 2n !?

le hic c'est qu'il y a plusieurs théorèmes de Whitney... et comme il a d'abord prouvé que c'était possible pour d>2n (et que cette démo est pas trop complexe), souvent seule celle-ci est mentionnée/démontrée... mais il est revenu à la charge quelques années après et a prouvé 2n...

j'ai cherché sur le web un doc qui résume ses diverses étapes :

http://count.ucsc.edu/~rmont/classes...tureMcCain.pdf

je sais pas si c'est mentionné dedans, mais pour certains types de variétés, y'a des résultats généraux qui minimalisent la dimension... par exemple il me semble me souvenir que pour les sphères, y'a une valeur pas mal plus petite démontrée.

Quand on parle d'immersion, on prend juste la variété et on oublie la métrique

c'est plutôt que l'immersion est une notion locale alors que le plongement (embedding) est global (il est injectif donc pas d'intersection de la variété avec elle-même). D'ailleurs, si je me souviens bien (c'est têt dans le doc que j'indique), y'a un théorème (de whitney aussi ?) qui dit que si on veut qu'une immersion, d=2n-1 suffit... m'enfin, y'a têt des hypothèses que j'ai oubliées...

pour ce qui est de la signature, si on s'intéresse à ça je crois qu'on parle de "plongement/immersion isométrique" et on essaie dans ce cas de plonger dans un espace de Minkowski... enfin, y'a aussi des trucs où les gens plongent Minkowski dans un euclidien mais complexe... bref, c'est pas mal compliquè et vaste tout ça


[edit] je redonne le lien vers le fil que j'ai mentionné plus tôt car je viens de le survoler et y'a plein d'infos... en particulier ce post de Sephi avec un lien...

[invité576543]

Quand on parle d'immersion, on prend juste la variété et on oublie la métrique : par exemple une sphère est une variété riemanienne qui vit bien dans un espace euclidien. (En espérant ne pas dire de bêtise)

J'ai lu la réponse de Rincevent, mais je me permet ce commentaire: si on parle de courbure de l'espace-temps, on parle d'une courbure qui dérive d'une métrique de signature (3,1). Si on plonge dans un espace plus grand, est-ce que cela a un sens d'oublier la métrique?

Ensuite, pour moi, euclidien veut dire métrique de signature (n, 0), et que la courbure de la variété plongée est celle dérivée de la métrique euclidienne; mais peut-être me trompe-je?

la question est alors, peut-on obtenir une courbure définie par une métrique (3,1) comme dérivée de la métrique euclidienne (8,0) par plongement dans un espace d=8 ?

Cordialement,

[invite4793db90]

Si on plonge dans un espace plus grand, est-ce que cela a un sens d'oublier la métrique?

A mon avis ça dépend de ce qui t'intéresse : si ce n'est qu'à la forme, ce n'est pas important ; mais en effet l'oubli de la métrique apauvrit grandement l'espace en question.

Sur un exemple : une surface munie d'une métrique de signature (-1,1) n'est jamais qu'une surface (au sens le plus pauvre, ie topologique) que l'on peut voir dans un espace à au plus quatre dimensions. Mais on y a perdu le contenu intrinsèque. Pire : si cette surface est le plan avec , ben on peu malgré tout la voir, en tant qu'ensemble de points, comme un bête .

Donc le plongement dans un espace plus gros permet parfois de mieux « visualiser » la variété, mais ne permet plus nécessairement de faire des calculs.

la question est alors, peut-on obtenir une courbure définie par une métrique (3,1) comme dérivée de la métrique euclidienne (8,0) par plongement dans un espace d=8 ?

Je crois qu'il y a à ce niveau une ambiguïté qui naît de l'usage intensif de la notion d'isomorphisme : quand on plonge une variété, on identifie la source à l'image, mais ce sont bien des objets différents.

Cordialement.

[invité576543]

Je vrois qu'il y a à ce niveau une ambiguïté qui naît del'usage intensif de la notion d'isomorphisme : quand on plonge une variété, on identifie la source à l'image, mais ce sont bien des objets différents.

C'est peut-être moi qui ne comprend rien, mais je comprend "plonger" comme un isomorphisme qui conserve la courbure. La courbure initiale est définie par le tenseur de Riemann. La courbure du machin plongé est définie (j'imagine) comme la courbure extrinsèque, quelque chose lié aux rayons de "sphères" tangentes.

J'ai donc du mal à voir en quoi les métriques n'interviennent pas...

Mais c'est assez flou pour moi... En particulier une variété 1D plongée en 2D a une courbure extrinsèque, mais n'a pas de courbure intrinsèque, et j'imagine que des phénomènes similaires apparaissent pour des dimensions supérieures...

Cordialement,

[invite4793db90]

C'est peut-être moi qui ne comprend rien, mais je comprend "plonger" comme un isomorphisme qui conserve la courbure.

Pour ma part, je n'ai parlé que de plongement au sens topologique, c'est-à-dire au sens d'un homéomorphisme de la variété vers un sous-ensemble d'un .

Pour conserver la métrique et tout le tointoin, ce n'est effectivement pas évident que celà puisse se faire dans un espace euclidien, et je ne suis pas sûr que la borne 2n soit encore valable... En bref, je n'en sais rien. Mais des géomètres plus aguerris vont certainement passer par là !

Cordialement.

[invitea29d1598]

Pour ma part, je n'ai parlé que de plongement au sens topologique, c'est-à-dire au sens d'un homéomorphisme de la variété vers un sous-ensemble d'un .

et c'est bien sur ça que porte Whitney... si on parle de métrique

Pour conserver la métrique et tout le tointoin, ce n'est effectivement pas évident que celà puisse se faire dans un espace euclidien, et je ne suis pas sûr que la borne 2n soit encore valable...

je ne connais pas de résultat valable dans un espace euclidien. En revanche Clarke (ou un nom similaire) a montré que toute varíété pseudo-riemannienne (3+1) pouvait être plongée dans un espace Minkowskien de dimension suffisante... en fait je connais pas très bien l'article car je l'ai jamais eu sous la main mais d'après mes souvenirs, il existe plusieurs solutions pour les dimensions de l'espace récepteurs et il peut avoir 2 ou 3 dimensions du genre temps et il lui en faut un truc comme 90 (9x10,pas de coquille) du genre espace...

[edit] en fouillant un peu j'ai trouvé ce qui est peut-être la réf (perso j'ai pas accès... si quelqu'un tombe dessus par hasard je suis intéressé )

Clarke, C. J. S., "On the global isometric embedding of pseudo-Riemannian manifolds," Proc. Roy. Soc. A314 (1970) 417-428

cf aussi cette discussion sur le site de Cornell...

[invite4793db90]

il existe plusieurs solutions pour les dimensions de l'espace récepteurs et il peut avoir 2 ou 3 dimensions du genre temps et il lui en faut un truc comme 90 (9x10,pas de coquille) du genre espace...

Ah oui quand même !

[invité576543]

Bonsoir,

Mais je ne comprend pas trop en quoi un plongement seulement topologique peut avoir un intérêt pour l'espace-temps.

Pour la bouteille de Klein, l'intérêt est de supprimer l'auto-intersection. Mais les auto-intersections de l'espace-temps, je ne vois pas à quoi ça correspond, et j'aimerais savoir si même il y en a: cela voudrait dire un événement qui a deux environnements 4D

Cordialement,

[invite4793db90]

Mais les auto-intersections de l'espace-temps, je ne vois pas à quoi ça correspond, et j'aimerais savoir si même il y en a: cela voudrait dire un événement qui a deux environnements 4D

En effet, il ne peut y avoir d'auto-intersection puisque précisément on modélise l'espace-temps en tant que variété (dans laquelle on vit).

L'histoire de plonger une variété dans un espace plus gros n'a pour intérêt uniquement de visualiser la forme globale de cette variété : par exemple, on voit bien qu'une sphère est "ronde" en 3d.

C'est simplement affaire de représentation.

Cordialement.

[invité576543]

L'histoire de plonger une variété dans un espace plus gros n'a pour intérêt uniquement de visualiser la forme globale de cette variété : par exemple, on voit bien qu'une sphère est "ronde" en 3d.

C'est simplement affaire de représentation.

Je suis perdu... La forme locale est liée à la métrique. L'isomorphisme topologique ne respecte pas la forme! S'il n'y a pas d'auto-intersection, l'espace-temps topologique est topologiquement isomorphe à une variété plate, non? (Eventuellement fermé, genre cylindre ou tore ou dodécaèdre ou autres machins 4D, mais plat.)

Seul intérêt possible à ce plongement "topologique", cette forme "globale" (infini ou replié, et si replié comment). Mais on est alors très loin du sujet initial du fil, qui était cette comparaison (que je n'aime pas mais très courante) avec une feuille élastique déformée localement par les "masses" (1) "présentes" (2).

Cordialement,

(1) Guillemets parce que ce ne sont pas les masses...

(2) Guillemets parce que "présent" dans l'espace-temps, ce n'est pas clair...