Geometrie et quantique?

[mariposa]

Qu'entends-tu par "dériver logiquement de l'expérience" ? Entends-tu par là que l'origine profonde de la géométrie et de l'arithmétique ne se situe pas dans notre expérience sensible ?

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Au départ le géométrie part de notre expérience sensible, aucun doute là-dessus. Néanmoins à partir du programme d'Erlangen de Klein (deuxième moitié du XIX ième siècle) il n'y a plus de connexion avec notre expérience commune.

Par exemple un plan projectif RP2 est simple mais néanmoins très abstrait.
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Le concept de variété peut se comprendre intuitivement à partir d'une surface courbe, mais c'est plus que çà puisqu'un plan projectif c'est une variété.
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Quand on définit une géométrie par une algébre de Lie on ne sait plus se representer intuitivement quelquechose. par exemple SU(2) ressemble à SO(3) le groupe des rotations propres de la sphère. Mais que penser de SU(5)
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La théorie de la supersymétrie est une théorie géométrique, les espaces fibrés sont des modèles géométriques et que dire de la géométrie non-commutative.
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En fait la géométrie a été généralisée par la notion d'espaces topologiques et de groupes et donc aux antipodes de toute intuition du sens commun.C'est le règne des mathématiques.
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[invitefa5fd80c]

Absolument, par contre c'est le monde extérieur qui a stimulé l'exploration de ce monde intérieur et inversement qui crée aussi des obstacles et des erreurs de jugements quant à notre conception de celui-ci.

La substance de ce "monde intérieur" dont tu parles est-elle la matière qui nous compose ? En d'autres termes, ce "monde intérieur" est-il le résultat de notre code génétique, de nos structures cérébrales, etc... ?

Dans un autre ordre d'idées, considérons simplement la distance entre deux objets. Considères-tu cette distance comme une propriété objective du monde physique ou bien considères-tu que cette distance doit son existence aux mathématiques ?

[invitefa5fd80c]

Qu'en est-il des geometries non-commutatives ?

Contrairement aux geometries en dimensions superieures, je ne crois pas que l'on puisse dire qu'elles ont ete "decouvertes" simplement par une generalisation des geometries applicables directement au monde (selon nos sens).

Ces géométries doivent leur existence aux géométries issues de notre expérience sensible.

Pour illustrer la chose, considérons le jeu Lego. Je ne sais pas si c'est aussi connu en Europe qu'ici en Amérique, ce sont de petits blocs que l'on peut assembler de différentes façons (il y avait aussi à l'époque le jeu Mecano). On peut effectuer des constructions arbitraires (ou non) en utilisant ces petits blocs et le résultat final a une apparence très différente de ses unités constitutives. Mais il n'en reste pas moins qu'à la toute base ces constructions doivent leur existence à ces petits blocs. Dans le cas de ces géométries, c'est la même chose: à la toute base, il y a des notions qui nous viennent de notre expérience sensible, principalement les notions dérivées du phénomène géométrique mais pas uniquement: il y a aussi des notions dérivées d'autres aspects de cette expérience sensible, en particulier les nombres entiers.

[invitefa5fd80c]

Bonjour mariposa,

Je pense que nos points de vue se correspondent assez bien.

Au départ le géométrie part de notre expérience sensible, aucun doute là-dessus.

Alors nous sommes d'accord sur l'essentiel.

Néanmoins à partir du programme d'Erlangen de Klein (deuxième moitié du XIX ième siècle) il n'y a plus de connexion avec notre expérience commune.

Par exemple un plan projectif RP2 est simple mais néanmoins très abstrait.
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Le concept de variété peut se comprendre intuitivement à partir d'une surface courbe, mais c'est plus que çà puisqu'un plan projectif c'est une variété.
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Quand on définit une géométrie par une algébre de Lie on ne sait plus se representer intuitivement quelquechose. par exemple SU(2) ressemble à SO(3) le groupe des rotations propres de la sphère. Mais que penser de SU(5)
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La théorie de la supersymétrie est une théorie géométrique, les espaces fibrés sont des modèles géométriques et que dire de la géométrie non-commutative.
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En fait la géométrie a été généralisée par la notion d'espaces topologiques et de groupes et donc aux antipodes de toute intuition du sens commun.C'est le règne des mathématiques.

En gros je suis d'accord. Mais ces constructions ont été initiées à l'origine par notre expérience sensible du monde. Et lorsqu'il en sort des propriétés observées dans le monde physique, c'est que ces propriétés sont au tout départ inscrites dans ce monde physique et sont donc des propriétés physiques, susceptibles d'être réductibles, c'est-à-dire le résultat de phénomènes physiques plus élémentaires.

[mariposa]

Dans un autre ordre d'idées, considérons simplement la distance entre deux objets. Considères-tu cette distance comme une propriété objective du monde physique ou bien considères-tu que cette distance doit son existence aux mathématiques ?

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Justement ton exemple est parfait pour illustrer l'évolution de la géométrie.

1- On part de la distance intuitive entre 2 points à laquelle nous sommes familier.
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2- on réfléchit sur le concepte de distance et on lui donne une formulation axiomatique.
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3- On applique cette formulation aux différents contextes physiques. Exemple en relativité RG la distance entre 2 points de coordonnées X et Y ce n'est pas du tout la distance usuelle. Autre exemple:

les droites de R3 passant par l'origine définissent le plan projectif RP2 cad qu'une droite de R3 devient un point de RP2. A ce niveau on peut définir une distance entre 2 points de RP2 qui respectent les axiomes de la distance.Autrement dit on est capable de parler de la distance entre 2 droites concurrentes ce qui était à priori absurde selon le point de vue naïf.
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le plus étonnant est que ces définitions axiomatiques qui paraissent à priori gratuites ou arbitraires pour le physicien finissent par avoir des applications concrètes en physique. C'est notamment le cas des variétés et des groupes qui sont au coeur de la géométrie différentielle et des espaces fibrés cad la RG et les particules élémentaires.
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En bref c'est une réflexion sur la géométrie euclidienne qui a permis de développer le concept de géométrie à un niveau d'abstraction.
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Pour aller chercher un exemple extrème j'ai envie de citer l'interprétation de l'effet Hall quantique fractionnaire qui se fait selon un modèle géométrique, le groupe des tresses, cad de ficelles entremèlées. Ce groupe de tresses est d'ailleurs lui-même une généralisation du groupe de permutation.

[mtheory]

La substance de ce "monde intérieur" dont tu parles est-elle la matière qui nous compose ? En d'autres termes, ce "monde intérieur" est-il le résultat de notre code génétique, de nos structures cérébrales, etc... ?

Non, je suis Platonicien jusqu'aux cordes !

[invitefa5fd80c]

Non, je suis Platonicien jusqu'aux cordes !

Ah bon ! maintenant je comprends ta position et je la respecte très sincèrement, même si ce n'est pas la mienne: après tout, en tant que collectivité, notre meilleure chance d'avancer est d'examiner toutes les directions possibles

[invitefa5fd80c]

...par contre, ça ne répond pas à mon autre question :

Dans un autre ordre d'idées, considérons simplement la distance entre deux objets. Considères-tu cette distance comme une propriété objective du monde physique ou bien considères-tu que cette distance doit son existence aux mathématiques ?

Qu'en est-il ?

[ClairEsprit]

...par contre, ça ne répond pas à mon autre question :

Dans un autre ordre d'idées, considérons simplement la distance entre deux objets. Considères-tu cette distance comme une propriété objective du monde physique ou bien considères-tu que cette distance doit son existence aux mathématiques ?

Qu'en est-il ?

Bonjour,

pour pouvoir répondre à cette question il faut en premier lieu que tu définisses ce que tu entends par distance dans la phrase "la distance entre deux objets".