Masse du système Terre-Lune

[invité576543]

Bonjour,

Quelle est la masse du système Terre-Lune? Évidemment la première réponse qui vient à l'esprit est la somme des masses. Mais je voudrais prendre en compte l'énergie de liaison gravitationnelle!

Pour cela, voilà une expérience par la pensée. Imaginons le système Terre-Lune seul dans l'univers, ou du moins loin de toute autre chose. On suppose l'orbite circulaire, à distance mutuelle r. Sur Terre on fabrique (ne demandez pas les détails) une masse m/2 d'anti-matière. A un certain moment, elle est annihilée avec une masse m/2 de matière, et on se débrouille pour que tous les produits de réaction soient des particules de masse nulle, qui donnent une impulsion p à la Terre et une impulsion -p à la Lune, sans créer de couple.

La question est: quelle est la masse m minimum pour que l'orbite devienne, suite à l'impulsion, exactement parabolique?

Alors, il me semble, par conservation de la masse totale, la masse du système Terre-Lune, avant comme après l'impulsion doit être , m étant la masse minimale demandée ci-dessus, mc² représentant l'énergie de liaison.

Clairement, m a un rapport avec (1). C'est le coefficient multiplicateur qui m'intéresse. Est-ce 1? 1/2? Est-ce autre chose?

Cordialement,

(1) Soit de l'ordre de 10¹² kg, sf erreur de calcul,, ce qui est négligeable devant les masses en question, mais c'est le principe du calcul qui m'intéresse.
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[invitec053041c]

Intéressant, mais je ne saurais te répondre

[mariposa]

Bonjour,

Quelle est la masse du système Terre-Lune? Évidemment la première réponse qui vient à l'esprit est la somme des masses. Mais je voudrais prendre en compte l'énergie de liaison gravitationnelle!

Pour cela, voilà une expérience par la pensée. Imaginons le système Terre-Lune seul dans l'univers, ou du moins loin de toute autre chose. On suppose l'orbite circulaire, à distance mutuelle r. Sur Terre on fabrique (ne demandez pas les détails) une masse m/2 d'anti-matière. A un certain moment, elle est annihilée avec une masse m/2 de matière, et on se débrouille pour que tous les produits de réaction soient des particules de masse nulle, qui donnent une impulsion p à la Terre et une impulsion -p à la Lune, sans créer de couple.
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La question est: quelle est la masse m minimum pour que l'orbite devienne, suite à l'impulsion, exactement parabolique?

Alors, il me semble, par conservation de la masse totale, la masse du système Terre-Lune, avant comme après l'impulsion doit être , m étant la masse minimale demandée ci-dessus, mc² représentant l'énergie de liaison.

Clairement, m a un rapport avec (1). C'est le coefficient multiplicateur qui m'intéresse. Est-ce 1? 1/2? Est-ce autre chose?

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C'est tout simplement: m.c2 = energie de liaison gravitationnelle.

Cad que l'énergie de paires a fourni le travail pour mettre les 2 planètes à distance infini.
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Pour être plus "réaliste" tu peux imaginer non par une paire mais n paires avec n très grand.

[invité576543]

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C'est tout simplement: m.c2 = energie de liaison gravitationnelle.

Oui! Mais elle vaut quoi, cette énergie de liaison?

Par exemple, dans ma petite expérience de pensée, il y a l'énergie cinétique qui intervient aussi.

Parmi les nombreux (autres) détails qui me bloquent: l'énergie potentielle de la Lune dans le champ terrestre c'est -Gmm'/r². L'énergie potentielle de la Terre dans le champ lunaire, c'est -Gmm'/r². Quand on fait le bilan, on la compte une seule fois ou deux fois?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rincevent]

Parmi les nombreux (autres) détails qui me bloquent: l'énergie potentielle de la Lune dans le champ terrestre c'est -Gmm'/r². L'énergie potentielle de la Terre dans le champ lunaire, c'est -Gmm'/r². Quand on fait le bilan, on la compte une seule fois ou deux fois?

ce résultat est valable pour un corps ponctuel et donc marche dans la limite où la Lune est petite devant la Terre (et éloignée aussi si possible). En toute rigueur, tu as une formule plus générale donnée en bas de cette page et si tu veux des détails sur le calcul de l'énergie d'une étoile (pour calculer l'énergie potentielle d'un corps autogravitant isolée), tu peux regarder vers la fin de ce cours.

Reste que tant que tu es newtonien, la vitesse intervient pas dans l'énergie potentielle même si elle joue pour l'énergie mécanique totale.

[invité576543]

Bonjour,

En toute rigueur, tu as une formule plus générale donnée en bas de cette page

Ouaip! Et il y a un facteur 1/2 devant l'intégrale... Exactement le genre de facteurs qui m'interpellent! Si je met deux dirac comme répartition de masse, ça fait 2(-1/2 Gmm'/r), le 2 en facteur correspondant au double produit (je passe les carrés à la poubelle, en bon physicien, la formule pose quelques problèmes de convergence il me semble). Si je comprend bien, ça veux dire qu'on ne compte qu'une fois -Gmm'/r, le facteur 1/2 devant l'intégrale est là pour ça.

et si tu veux des détails sur le calcul de l'énergie d'une étoile (pour calculer l'énergie potentielle d'un corps autogravitant isolée), tu peux regarder vers la fin de ce cours.

Là il y a de nouveau un facteur 1/2, il me semble.

Ce qu'on trouve couramment, c'est que Ecinétique = -1/2 Epotentielle, (Epotentielle<0), et Etotale = -1/2 Epotentielle. Le cours semble dire la même chose, pour un gaz.

Reste que tant que tu es newtonien, la vitesse intervient pas dans l'énergie potentielle même si elle joue pour l'énergie mécanique totale.

Un de mes problèmes de compréhension est lié à la différence potentielle/totale. Quand on parle d'énergie de liaison (que ce soit Terre-Lune, ou des électrons dans un atome, ou des composants quels qu'ils soient dans un noyau), on parle du travail nécessaire pour les amener de l'infini et relativement immobiles à là où ils sont et à la vitesse où ils sont, non? Si cela est correct, l'énergie de liaison c'est l'énergie mécanique totale et non pas seulement l'énergie potentielle. D'où un facteur 1/2 dans le cas gravitationnel newtonien dans le calcul de l'énergie de liaison... On se retrouve alors avec -1/2 Gmm'/r, tout compris...

Merci, et cordialement,

[mariposa]

Oui! Mais elle vaut quoi, cette énergie de liaison?

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L'énergie de liaison c'est le travail qu'il faut fournir pour porter les 2 corps a l'infini avec une vitessse nulle. C'est la même chose pour un atome. L'énergie de liaison pour un atome d'hydrogène c'est -13.6 eV ca veut dire qu'il faut fournir une énergie de 13.6 ev pour séparé l'électron du proton.
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Par exemple, dans ma petite expérience de pensée, il y a l'énergie cinétique qui intervient aussi.

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Non elle n'intervient pas (directement) dans la réponse a ta question.
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L'énergie totale de ton système c'est:
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Et = Ec + Ep

Ep c'est l'énergie potentielle qui est négative dans ton cas. Pour un système lié Ep en valeur absolue est plus grand que Ec (energie cinétique) et donc Et est l'énergie totale de ton système qui est également l'énergie de liaison qui t'intéresse.
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Il te faut donc d'abord résoudre la dynamique pour ton système pour calculer Et.

Parmi les nombreux (autres) détails qui me bloquent: l'énergie potentielle de la Lune dans le champ terrestre c'est -Gmm'/r². L'énergie potentielle de la Terre dans le champ lunaire, c'est -Gmm'/r². Quand on fait le bilan, on la compte une seule fois ou deux fois?
Cordialement,

L'énergie potentielle Ep c'est une propriété de la paire de corps. Dans le cas où tes masses sont ponctuelles et que l'orbite est circulaire se serait:-Gmm'/r².avec r=r° le rayon de l'orbite (a determiner). Mais attention cette énergie potentielle n'est pas l'énergie de liaison, il faut encore ajouter l'énergie cinétique.

[invité576543]

Bonsoir,

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L'énergie de liaison (...)Mais attention cette énergie potentielle n'est pas l'énergie de liaison, il faut encore ajouter l'énergie cinétique.

Ca a l'air parfaitement en ligne avec ce que j'ai cru comprendre comme expliqué dans mon message de 18h41.

Ca converge sur 1/2 Gmm'/r, donc...

Merci et cordialement,

[invitefa5fd80c]

Ca converge sur 1/2 Gmm'/r, donc...

Ce résultat provient du théorème du viriel et concerne la moyenne temporelle des énergie cinétique et potentielle pour un système lié. Ce théorème est applicable aux forces centrales en 1/r²

Dans le cas de deux objets ponctuels, ce résultat n'est applicable pour les énergies cinétique et potentielle instantanées que dans le cas d'un mouvement circulaire des deux objets l'un autour de l'autre.

Amicalement

[mariposa]

Ce résultat provient du théorème du viriel et concerne la moyenne temporelle des énergie cinétique et potentielle pour un système lié. Ce théorème est applicable aux forces centrales en 1/r²

Dans le cas de deux objets ponctuels, ce résultat n'est applicable pour les énergies cinétique et potentielle instantanées que dans le cas d'un mouvement circulaire des deux objets l'un autour de l'autre.

Amicalement

Absolument.

Pour le problème de mmy il faut d'abord résoudre la dynamique (avec les conditions initiales ad'hoc) pour en déduire l'énergie de liaison.

[invitefa5fd80c]

Parmi les nombreux (autres) détails qui me bloquent: l'énergie potentielle de la Lune dans le champ terrestre c'est -Gmm'/r². L'énergie potentielle de la Terre dans le champ lunaire, c'est -Gmm'/r². Quand on fait le bilan, on la compte une seule fois ou deux fois?

L'énergie potentielle Ep c'est une propriété de la paire de corps.

Effectivement l'énergie potentielle Ep est une propriété de la paire de corps. L'énergie (non-relativiste) totale est :

E = K1 + K2 + Gm1m2/r

où K1 et K2 sont les énergies cinétiques respectives des deux corps.

Cependant, pour les potentiels en 1/r, ce terme d'énergie potentielle peut s'écrire comme la somme de deux termes, chacun étant nettement attribuable à l'un seulement des deux objets:

E = K1 + K2 + r1.F1 + r2.F2

où r1.F1 est le produit scalaire du vecteur r1 (pris à partir d'une origine quelconque) et de la force F1 agissant sur le corps 1 et r2.F2 le terme analogue pour le corps 2.

Ce résultat peut être étendu à un ensemble de N objets :

E = sommation de 1 à N [Ki + Ri.Fi]

[mariposa]

Effectivement l'énergie potentielle Ep est une propriété de la paire de corps. L'énergie (non-relativiste) totale est :

E = K1 + K2 + Gm1m2/r

où K1 et K2 sont les énergies cinétiques respectives des deux corps.

Cependant, pour les potentiels en 1/r, ce terme d'énergie potentielle peut s'écrire comme la somme de deux termes, chacun étant nettement attribuable à l'un seulement des deux objets:

E = K1 + K2 + r1.F1 + r2.F2

où r1.F1 est le produit scalaire du vecteur r1 (pris à partir d'une origine quelconque) et de la force F1 agissant sur le corps 1 et r2.F2 le terme analogue pour le corps 2.

Que represente r1 et r2: les coordonnées de quoi?
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Normalement ce ne peut-être que les coordonnées des 2 corps. Non?
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Auquel cas a quoi sert cette séparation si tu n'as pas 2 hamiltoniens indépendants?

[invitefa5fd80c]

Que represente r1 et r2: les coordonnées de quoi?

Ce sont les rayons vecteurs entre une origine O quelconque et chacun des deux corps.

Auquel cas a quoi sert cette séparation si tu n'as pas 2 hamiltoniens indépendants?

Cela ne sert qu'à montrer que l'on peut exprimer l'hamiltonien comme une somme de termes, un par particule, et où le terme d'interaction associé à chaque objet dépend de la force exercée sur l'objet.
Cela permet, entre autres choses, de comprendre l'effet Aharonov-Bohm autant en termes de forces que de potentiels.

[mariposa]

Ce sont les rayons vecteurs entre une origine O quelconque et chacun des deux corps.


Cela ne sert qu'à montrer que l'on peut exprimer l'hamiltonien comme une somme de termes, un par particule, et où le terme d'interaction associé à chaque objet dépend de la force exercée sur l'objet.
Cela permet, entre autres choses, de comprendre l'effet Aharonov-Bohm autant en termes de forces que de potentiels.

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Je n'ai jamais utilisé une telle décomposition (en MQ) mais pourquoi pas.
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Tu as mentionné que c'était valable pour le potentiel en 1/r. Il me semble qu'il suffit que la force dérive d'un potentiel. Non?

[invitefa5fd80c]

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Je n'ai jamais utilisé une telle décomposition (en MQ) mais pourquoi pas.

En fait, je n'ai jamais vu cette expression dans un bouquin de physique. C'est une petite trouvaille que j'ai faite dans un certain contexte.

Tu as mentionné que c'était valable pour le potentiel en 1/r. Il me semble qu'il suffit que la force dérive d'un potentiel. Non?

Par la 3ème loi de Newton :

r1.F1+r2.F2 = (r2-r1).F2 = r12.F2

Pour que le résultat soit applicable, il faut et il suffit que :

r12.F2 = V

où V est le potentiel associé aux objets 1 et 2