TSC : hamiltonien effectif avec un terme entropique ?

[gatsu]

Bonjour,

Je suis en train d'étudier un article et il y a un passage que je ne comprends pas du tout.

L'idée est détudier un système de N particules en intéraction avec un champ extérieur et interagissant entre elles.

Après un coarse graining du système avec un cutoff de taille , l'auteur nous dit qu'on tombe sur un hamiltonien effectif qui est la somme d'un hamiltonien des champs "normal" (l'energie quoi) et d'un terme entropique, ce qui donne :

Mon problème c'est que si j'avais fais le coarse graining moi même, je n'aurais pas ajouté ce terme entropique, d'autant plus que c'est cela correspond à l'entropie d'un gaz parfait dans un champ extérieur..donc pas de correlation entre particules.
Ceci est d'autant plus troublant pour moi qu'après avoir fait varier pour faire intervenir les fluctuations autour du champ moyen () l'auteur definie apparemment la variation d'energie libre comme étant:


Je dois avouer que je suis assez pedu et je souhaiterais savoir si ce type de raisonnement est fréquent et comment on le justifie si c'est le cas.
De la même façon où pourrais je trouver des informations sur ce genre de choses ?
Merci d'avance pour votre réponse !
-----

[mariposa]

L'idée est détudier un système de N particules en intéraction avec un champ extérieur et interagissant entre elles.

Bonjour Gatsu,
.
Il faudrait préciser de savoir quelles propriétés veut-tu étudier?
.
Quel est le contexte général du problème?

Il y a autant d'hamiltoniens effectifs qu'il y a de propriétés a examiner.
.
Cordialement.

[gatsu]

Bonjour Gatsu,
.
Il faudrait préciser de savoir quelles propriétés veut-tu étudier?
.
Quel est le contexte général du problème?

Il y a autant d'hamiltoniens effectifs qu'il y a de propriétés a examiner.
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Cordialement.

Au delà du cas particulier je souhaiterais savoir si de façon générale ça semble normal que l'energie libre soit définie à partir d'une fonction de partition, elle même définie comme étant une integrale fonctionnelle sur des hamiltoniens contenant un terme entropique, ce qui pour moi, correspond dejà à une enrgie libre fonctionnelle en fait.

[mariposa]

Au delà du cas particulier je souhaiterais savoir si de façon générale ça semble normal que l'energie libre soit définie à partir d'une fonction de partition, elle même définie comme étant une integrale fonctionnelle sur des hamiltoniens contenant un terme entropique, ce qui pour moi, correspond dejà à une enrgie libre fonctionnelle en fait.

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L'énergie libre classique F = U- T.S devient en thermodynamique statistique:

..F= -k.T .ln Z

Donc par construction de la thermodynamique statistique l'énergie libre s'exprime en fonction de la fonction de partition. c'est incontournable.
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Il faut donc calculer d'abord Z en fonction de l'hamiltonien qui est la somme des termes a 1 corps (énergie cinétique + interaction avec un potentiel extérieur) + termes d'interaction à 2 corps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

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L'énergie libre classique F = U- T.S devient en thermodynamique statistique:

..F= -k.T .ln Z

Donc par construction de la thermodynamique statistique l'énergie libre s'exprime en fonction de la fonction de partition. c'est incontournable.
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Il faut donc calculer d'abord Z en fonction de l'hamiltonien qui est la somme des termes a 1 corps (énergie cinétique + interaction avec un potentiel extérieur) + termes d'interaction à 2 corps.

J'entends bien mais dans la fonction de partition que tu définis il n'y a pas de terme entropique normalement dans l'hamiltonien, mais là il y en a un....d'où ma question au premier message.
En gros ce que je dis c'est que n'est pas une fonction de partition au sens où tu le définis dans ton message.

[gatsu]

Bonjour,

Je suis en train d'étudier un article et il y a un passage que je ne comprends pas du tout.

L'idée est détudier un système de N particules en intéraction avec un champ extérieur et interagissant entre elles.

Après un coarse graining du système avec un cutoff de taille , l'auteur nous dit qu'on tombe sur un hamiltonien effectif qui est la somme d'un hamiltonien des champs "normal" (l'energie quoi) et d'un terme entropique, ce qui donne :

Mon problème c'est que si j'avais fais le coarse graining moi même, je n'aurais pas ajouté ce terme entropique, d'autant plus que c'est cela correspond à l'entropie d'un gaz parfait dans un champ extérieur..donc pas de correlation entre particules.
Ceci est d'autant plus troublant pour moi qu'après avoir fait varier pour faire intervenir les fluctuations autour du champ moyen () l'auteur definie apparemment la variation d'energie libre comme étant:


Je dois avouer que je suis assez pedu et je souhaiterais savoir si ce type de raisonnement est fréquent et comment on le justifie si c'est le cas.
De la même façon où pourrais je trouver des informations sur ce genre de choses ?
Merci d'avance pour votre réponse !

J'ai remarqué que j'avais fais une erreur dans l'écriture de dans l'article ils disent que c'est:

[mariposa]

J'entends bien mais dans la fonction de partition que tu définis il n'y a pas de terme entropique normalement dans l'hamiltonien, mais là il y en a un....d'où ma question au premier message.
En gros ce que je dis c'est que n'est pas une fonction de partition au sens où tu le définis dans ton message.

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C'est pourquoi je t'ai posé des questions basiques.
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quand on construit l'ensemble canonique (un petit système en contact avec un thermostat) on par de la distribution canonique:

P(i) = A. exp(-Ei/k.T)

pour déduire la valeur de la fonction de partition Z = 1/A qui est l'inverse du coefficient de normalisation.

Ll'entropie vaut

S= -k.Somme[ (P(i).ln P(i)]
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A l'évidence il n'y a pas de terme entropique dans l'hamiltonien et l'hamiltonien ne dépend pas de la température. ici il ne s'agit pas d'hamiltonien effectif.
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Maintenant si tu calcules un hamiltonien effectif qui est d'une certaine façon une projection dans un sous-espace tu feras apparaitre inévitablement la température T et pourquoi pas selon la technique l'entropie. Tout dépend quel est le but de cet hamiltonien effectif et comment il est construit?
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L'expression que tu donnes de Z est écrite en fonction d'un Heff et doit donner le même résultat que le vrai H. Donc ce qu'il faut comprendre c'est pourquoi on cherche à écrire cet hamiltonien effectif (en général pour simplifier).
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De la même façon qu'un hamiltonien effectif reproduit le spectre d'un hamiltonien vrai dans un sous-espace, il est de même en physique statistique pour Z (qui joue le rôle du spectre pour une température nulle)

[mariposa]

J'ai remarqué que j'avais fais une erreur dans l'écriture de dans l'article ils disent que c'est:

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Là c'est autre chose. Ce n'est plus un hamiltonien effectif mais la valeur du couplage au champ extérieur.